덕포동 사상고등학교 수학과외
지수를 더하는 첫 줄을 놓친 풀이
사상고등학교 학생과 함께 지수법칙이 바로 쓰이는 문제를 풀던 중, 학생은 수치를 먼저 대입하지 않고 식에서 확인해야 할 부분에 밑줄을 그었다. 특히 곱셈 기호와 같은 밑을 표시했지만, 정작 풀이의 첫 줄에서 그 관계를 식으로 옮기는 과정을 건너뛰면서 이후 계산이 어긋났다.
예를 들어 \(a^3\cdot a^2\)를 계산할 때는 밑이 모두 \(a\)이고 곱셈으로 연결되어 있으므로 \(a^{3+2}=a^5\)가 된다. 학생은 이 사실을 알고 있었지만, 처음부터 지수를 합치지 않고 각각을 따로 계산하려다 오답식의 출발점을 지나쳤다.
밑과 연산을 따로 표시한 이유
교정할 때 식을 두 칸으로 나누어 한쪽에는 ‘같은 밑인가’, 다른 쪽에는 ‘곱셈인가’를 적게 했다. \(a^m\cdot a^n\)에서는 같은 밑 \(a\)를 확인한 뒤, 첫 번째 항의 \(m\)번 곱과 두 번째 항의 \(n\)번 곱을 이어 붙이므로 총 \(m+n\)번 곱하는 구조가 된다. 따라서 \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)이라는 결과가 나온다.
같은 밑의 거듭제곱을 곱하면 밑은 유지되고, 각 거듭제곱에 포함된 곱셈 횟수가 합쳐진다.
이후 학생은 \(2^4\cdot2^3\)을 풀면서 먼저 같은 밑과 곱셈 여부를 확인하고 \(2^{4+3}=2^7\)로 정리했다. 단순히 지수를 더하는 것이 아니라, 두 조건이 모두 맞을 때만 법칙을 적용한다는 점도 함께 확인했다.
정답을 거꾸로 설명하며 확인한 연결
마지막에는 선택지 없이 \(x^2\cdot x^5=x^7\)을 완성한 뒤, 왜 지수가 7이 되는지 역순으로 설명하게 했다. 학생은 \(x^7\)을 \(x\)를 일곱 번 곱한 것으로 보고, 앞의 두 번과 뒤의 다섯 번이 합쳐진 것이라고 설명했다. 결과를 외운 것이 아니라 같은 밑과 곱셈이라는 조건에서 지수의 합이 나왔다는 논리를 거꾸로 복원하면서, 처음 놓쳤던 풀이의 첫 줄까지 스스로 점검할 수 있었다.