부산 경남여자고등학교 수학과외
정의역을 놓친 채 후보를 확정하려 했던 로그부등식
부산의 경남여자고등학교 학생과 수학 문제를 풀던 중, 문자와 수치가 함께 들어간 로그부등식의 해를 구하는 장면이 있었다. 학생은 처음부터 임의의 값을 대입하지 않고, 로그의 진수가 양수가 되어야 한다는 조건과 부등식에서 얻는 범위를 먼저 식으로 세웠다.
계산은 순조롭게 이어졌지만, 마지막에 두 조건을 어떻게 검산할지는 스스로 정하지 못했다. 선택지를 비교하면서 정의조건과 부등식의 해가 겹치는 후보를 찾았지만, 그 값이 실제 식에 들어갈 수 있는지 반례를 확인하지 않은 채 정답으로 결정하려 했다.
후보 하나를 직접 대입해 허용 여부를 확인한 과정
예를 들어 log2(x-1) ≥ 0을 살펴보면 정의조건은 x-1>0, 즉 x>1이다. 밑이 2보다 크므로 부등식 자체에서는 x-1≥1을 얻어 x≥2가 된다. 두 결과의 교집합은 x≥2이다.
학생은 후보 x=1을 반례로 대입했다. 부등식의 변형만 보면 경계에 가까운 값처럼 보이지만, log20이 되어 애초에 정의되지 않는다. 이 과정을 통해 잘못된 결과를 단순히 지우는 대신, 정의조건을 위반하는 값이 왜 답이 될 수 없는지 확인했다.
로그부등식의 해는 계산으로 얻은 범위만이 아니라 로그가 실제로 정의되는 범위와의 교집합으로 결정된다.
조건과 검산 순서를 스스로 정한 새 문항
이후에는 정답 후보가 눈에 띄게 제시되지 않은 새 문항을 풀게 했다. 학생은 먼저 진수의 양수 조건을 적고, 로그의 밑이 1보다 큰지 작은지를 확인한 뒤 부등식의 방향을 정했다. 그다음 두 범위를 수직선에 표시해 교집합을 구하고, 끝점이 포함되는지도 따로 점검했다.
최종 답을 낸 뒤에는 답에 포함된 경계값과 제외된 값 각각을 식에 대입했다. 포함된 값은 정의조건과 로그부등식을 모두 만족했지만, 제외된 값은 진수가 0 이하가 되거나 부등식 조건을 만족하지 않았다. 학생은 마지막 답에 반례가 남아 있지 않은지 조건별로 확인하며, 계산 결과와 허용범위를 분리하지 않고 함께 판정했다.