부산 덕문고등학교 수학과외
지수 그래프의 세로값과 로그의 입력 조건을 혼동한 풀이
덕문고등학교 학생은 지수함수와 로그함수의 대응을 묻는 풀이에서 계산 자체는 정답에 가까이 진행했지만, 그래프와 표를 읽는 한 지점에서 위치를 잘못 잡았다. 제시된 풀이를 한 줄씩 따라가며 처음 어긋난 부분을 표시해 보니, 지수함수의 출력값 조건과 로그함수의 입력 범위를 설명 없이 넘긴 것이 원인이었다.
한 칸 잘못 읽은 그래프 대응
학생은 표의 값을 옮길 때 지수함수의 그래프에서 나타나는 값과 로그식에 넣을 수 있는 값을 같은 기준으로 처리했다. 그러나 예를 들어 y=2^x에서는 x가 어떤 실수여도 되지만 출력값 y는 항상 양수이다. 반대로 y=log₂x에서는 로그의 입력값 x가 반드시 0보다 커야 한다.
학생은 이 중간 판단을 적지 않고 다음 계산으로 바로 넘어갔다. 그 결과 그래프의 세로값을 확인해야 할 위치와 로그의 가로 입력 조건을 확인해야 할 위치가 한 칸씩 밀렸고, 이후 계산값도 같은 방향으로 어긋났다.
지수함수는 출력값이 양수이고, 로그함수는 입력값이 양수여야 한다.
두 조건을 분리해 표로 다시 읽기
교정할 때는 두 내용을 한 문장으로 외우게 하지 않고 별도 칸에 나누어 적었다.
- 지수함수
y=a^x의 출력:y>0 - 로그함수
y=logₐx의 입력:x>0
그 뒤 2^(-1)=1/2와 log₂(1/2)=-1을 각각 계산하게 했다. 지수식에서는 결과가 양수인지 먼저 확인하고, 로그식에서는 괄호 안의 입력값이 양수인지 먼저 확인하자 두 조건이 서로 대응하지만 같은 위치의 조건은 아니라는 점이 드러났다.
정답 후보 없이 조건부터 세운 새 문항
새 문제에서는 선택지를 주지 않고 학생이 직접 계산 순서를 정했다. 먼저 그래프에서 읽은 값이 지수함수의 출력인지 로그함수의 입력인지 구분한 다음, 양수 조건을 확인하고 식을 계산했다. 입력값이 0인 경우에는 log₂0을 계산하지 않고 로그의 정의역에 맞지 않는다고 판정했으며, 지수함수의 출력에는 음수가 나올 수 없다고 구별했다.
마지막에는 풀이를 역순으로 점검했다. 로그값을 지수식에 다시 넣어 원래의 양수 입력이 나오는지 확인하고, 그래프에서 얻은 값이 지수함수의 출력 조건을 만족하는지도 따로 살폈다. 이를 통해 두 조건이 적용되지 않는 경우까지 구별하며 답을 완성했다.