태전동 고등수학과외

태전동 고등수학과외에서는 복소수 문제를 계산 속도보다 ‘어떤 조건에서 실수부와 허수부를 나누는가’부터 점검하며 풉니다. 강북고등학교와 매천고등학교 학생들이 자주 연습하는 유형도 식을 전개한 뒤 두 부분을 분리하는 과정에서 첫 오류가 드러나는 경우가 많습니다. 협성휴포레강북작은도서관이나 꿈꾸는문화예술도서관에서 풀이를 정리할 때도 결과만 적기보다 분리의 근거를 한 줄씩 남기게 합니다.

복소수 식을 실수부와 허수부로 나누는 순간

학생에게 식 x²+15x-1223=0을 복소수 범위에서 풀게 하자, 먼저 x를 실수처럼 보고 근의 공식을 적었습니다. 여기까지는 식의 계수가 모두 실수이므로 자연스러운 접근입니다. 그런데 x를 복소수라고 다시 설정한 뒤에도 실수부와 허수부를 구분하지 않고, “실수부는 x²+15x-1223, 허수부는 0”이라고 한 줄로 처리했습니다.

첫 오류는 바로 이 지점입니다. x 자체가 복소수일 수 있는데 x²을 실수항으로 취급한 것입니다. 복소수 x를 a+bi로 두면

(a+bi)²+15(a+bi)-1223
= (a²-b²+15a-1223)+(2ab+15b)i

처럼 제곱 과정에서 허수항이 새로 생깁니다. 실수부와 허수부를 나누려면 원래 식의 항 모양이 아니라 전개가 끝난 뒤의 계수를 살펴야 합니다.

첫 오류를 표시하고 다시 푸는 과정

학생의 풀이에서 ‘x²을 실수항으로 둔 부분’에 오류 표시를 하고, x=a+bi를 대입하는 줄로 되돌아갔습니다. 복소수가 0이 되려면 실수부와 허수부가 각각 0이어야 하므로

a²-b²+15a-1223=0
b(2a+15)=0

을 얻습니다. 두 번째 식에서 b=0인 경우와 2a+15=0인 경우를 나누어야 합니다.

b=0이면 x=a이고, 원래 식은 a²+15a-1223=0이 됩니다. 판별식은 15²+4×1223=5117이므로 해는

a=(-15±√5117)÷2

입니다. 두 해 모두 실제 실수입니다. 반대로 a=-15/2를 대입하면 첫 번째 식은 -b²-5117/4=0이 되어 b²=-5117/4가 됩니다. 실수 a와 b를 전제로 한 분리 과정에서는 불가능하므로 추가적인 비실수 해가 생기지 않습니다.

조건을 바꾼 뒤 혼자 적용하기

같은 절차를 그대로 외우지 않도록 학생에게 z²+6z+13=0을 제시했습니다. z=a+bi로 놓고 허수부를 먼저 정리하면 b(2a+6)=0입니다. b=0이면 실수식의 판별식이 음수가 되어 탈락하고, a=-3을 넣으면 -b²+4=0이므로 b=±2를 얻습니다. 따라서 z=-3±2i입니다. 앞 문제와 달리 이번에는 허수해가 실제로 남는다는 점을 스스로 확인하게 했습니다.

켤레복소수로 마무리 검산

마지막에는 분리 결과만 믿지 않고 z=-3+2i와 켤레복소수 -3-2i를 함께 확인했습니다. 두 값을 원식에 각각 대입하면

(-3+2i)²+6(-3+2i)+13=0

이 되고, 켤레를 대입한 값도 0이 됩니다. 켤레인 두 해가 함께 나타나는 것은 실수 계수를 가진 다항식의 성질과도 맞습니다. 반면 x²+15x-1223에서는 b=0으로 끝났으므로 허수부가 사라지는지 확인하는 과정이 실수해만 남는 이유를 분명히 보여 줍니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

수업 진행 예시

식의 변형을 다시 확인하기

x² + 5x + 6을 (x + 2)(x + 3)으로 인수분해한 뒤 직접 전개해 원래 식이 되는지 확인합니다. 방정식으로 풀 때와 단순히 식을 변형할 때의 목적도 구분합니다.

조건 때문에 제외되는 값 찾기

분모가 x − 2인 식에서는 x = 2를 사용할 수 없습니다. 풀이에서 얻은 후보가 처음 조건에 맞는지 확인하고, 약분이나 식의 변형 뒤에도 처음의 제한 조건을 남깁니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

고등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준

학교급	방문 수업	화상 수업
고등	33~50만 원	30~46만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

수업 이용에 관한 자주 묻는 질문

수업 준비와 비용·보강에 관한 안내도 함께 확인해 주세요.

자주 묻는 점

복소수 식이면 항상 허수해가 나오나요?

아닙니다. 복소수 범위에서 풀더라도 모든 해가 실수일 수 있습니다.

실수부와 허수부는 언제 나누나요?

복소수를 a+bi로 치환하고 전개한 뒤, i가 없는 항과 i가 붙은 항을 각각 정리합니다.

b(2a+15)=0에서 왜 경우를 나누나요?

곱이 0이면 두 인수 중 적어도 하나가 0이므로 b=0 또는 2a+15=0을 따로 조사해야 합니다.

마지막에 켤레를 확인하는 이유는 무엇인가요?

계수가 실수인 식에서 한 복소수 해가 나오면 켤레도 해인지 확인할 수 있어 계산 오류를 잡는 데 도움이 됩니다.