강서동 중3수학과외

강서동 중3수학과외에서 살펴본 산점도의 두 문장

용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 생활권, 내덕칠거리 인근에서 중3수학과외를 진행하며 한 단원평가 문제를 함께 확인했습니다. 이번 글의 초점은 산점도에서 보이는 상관관계와 인과관계의 구분입니다. 복대중학교, 서원중학교, 서경중학교, 솔밭중학교, 서현중학교가 포함된 생활권에서 문제를 접하더라도, 점들이 함께 움직인다는 사실만으로 한 변수가 다른 변화를 일으켰다고 판단해서는 안 됩니다.

학생의 풀이 기록에서 먼저 멈춘 지점

단원평가 직전, 유형명이 적혀 있지 않은 문제를 보여 주었습니다.

가로축: 하루 평균 기온(℃)
세로축: 아이스크림 판매량(개)
산점도에서 점들이 오른쪽 위로 모여 있을 때, 두 자료의 관계를 설명하시오.

학생은 축의 이름을 읽기 전에 예제에서 보았던 오른쪽 위 모양을 떠올렸습니다. 산점도의 일부 점 세 개를 손가락으로 가리키며 다음처럼 적었습니다.

“점 세 개가 오른쪽 위로 올라가므로 기온이 높아지면 아이스크림 판매량이 반드시 증가한다. 따라서 기온이 판매량을 증가시킨다.”

이후 전체 점을 세지 않고, 왼쪽 아래와 오른쪽 위에 있는 점만 연결해 결론을 유지했습니다. 계산을 틀린 것은 아니지만, 답이 틀어지기 전 이미 예제의 겉모양과 일부 점만으로 관계를 단정한 것이 첫 판단의 오류였습니다.

한 번의 확인으로 바꾼 판단

풀이를 다시 쓸 때에는 다른 내용을 덧붙이지 않고, 첫 판단만 고쳤습니다. 먼저 가로축과 세로축의 의미를 소리 내어 확인했습니다.

• 가로축은 하루 평균 기온이다.
• 세로축은 아이스크림 판매량이다.
• 전체 점이 어느 방향으로 모이는지 본다.

그다음 산점도의 모든 점을 왼쪽에서 오른쪽으로 눈으로 따라갔습니다. 기온이 높을수록 판매량이 대체로 많아지는 흐름은 보였지만, 모든 점이 한 줄 위에 있지는 않았습니다. 따라서 “두 자료 사이에 양의 상관관계가 있다”라고 고쳤습니다. 그러나 기온이 판매량을 직접 증가시킨다고 단정하지는 않았습니다. 산점도는 두 자료가 함께 변하는 정도를 보여 줄 뿐, 한 자료가 다른 자료의 원인이라는 사실까지 알려 주지 않기 때문입니다.

학생이 정리한 기준은 하나였습니다.

축의 뜻을 확인한 뒤, 전체 점의 흐름으로 상관관계를 판단하고, 원인이라고 단정하지 않는다.

표현이 달라진 독립 문제

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 축의 방향과 질문을 바꾼 자료를 제시했습니다. 이번에는 세로축이 ‘주당 운동 시간’, 가로축이 ‘수면 시간’인 산점도였습니다. 점들은 오른쪽으로 갈수록 대체로 위쪽에 있었지만, 오른쪽 아래에도 몇 점이 있었고 왼쪽 위에도 한 점이 있었습니다.

이 산점도를 보고 “잠을 많이 자면 운동 시간이 늘어난다”라고 말해도 되는가? 자료에서 판단할 수 있는 범위를 쓰시오.

학생은 먼저 세로축과 가로축을 거꾸로 읽지 않았습니다. “수면 시간과 운동 시간 사이에는 양의 상관관계가 대체로 보인다. 하지만 이 산점도만으로 수면 시간이 운동 시간을 늘린다고 말할 수는 없다.”라고 답했습니다. 이번에는 특정 점이나 문제의 모양을 먼저 고르지 않고, 축의 의미와 전체 분포를 근거로 문장을 만들었습니다.

힌트 없이 다시 확인한 날

한 주 뒤, 별도의 표시 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.

가로축은 하루 스마트폰 사용 시간, 세로축은 독서 시간이다. 점들이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 대체로 퍼져 있다. 이 자료의 관계와 주의할 점을 설명하시오.

학생은 “스마트폰 사용 시간이 길수록 독서 시간이 짧아지는 경향이 있어 음의 상관관계가 보인다.”라고 쓴 뒤, “다만 산점도만으로 스마트폰 사용이 독서 시간 감소의 원인이라고 확정할 수는 없다.”라고 덧붙였습니다. 이어 왼쪽 위와 오른쪽 아래의 대표적인 점만 본 것이 아니라 중간과 바깥쪽 점까지 함께 확인했다고 설명했습니다.

이처럼 강서동중3수학과외에서 확인한 변화는 많은 풀이법을 추가한 것이 아니었습니다. 문제를 볼 때마다 두 축의 의미와 전체 점의 분포를 먼저 확인하는 한 가지 기준을 스스로 적용했는지가 핵심이었습니다.