강서동 중2수학과외

전체 경우를 먼저 세우는 확률 풀이

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한 줄의 선택에서 시작된 오류

문제는 주머니에 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 있을 때 공을 한 개 뽑아 빨간 공이 나오지 않을 확률을 구하는 내용이었다. 학생은 문제에서 ‘빨간 공이 나오지 않는다’는 문장을 읽고, 빨간 공이 아닌 경우를 바로 세기보다 예제 풀이의 순서를 따라 빨간 공이 나올 확률부터 계산했다.

학생은 전체 공의 수를 5, 빨간 공의 수를 3이라고 표시해 3/5를 적었다. 여기까지는 맞았지만, 다음 줄에서 그 값을 그대로 답으로 옮기려 했다. 결과가 틀린 뒤가 아니라, ‘나오지 않을 확률’을 묻는 문장을 읽고도 원하는 경우를 빨간 공으로 먼저 정한 판단이 풀이가 어긋난 최초 지점이었다.

질문이 ‘아닌 경우’를 묻는다면, 먼저 반대 경우를 구한 뒤 전체 확률 1에서 빼는 기준을 사용한다.

필요한 교정 하나만 남기기

교사는 학생이 이미 적은 전체 경우 5와 빨간 공 3이라는 표시를 지우지 않게 했다. 대신 빨간 공이 나오는 확률을 구한 뒤, 문제의 질문에 맞게 1-3/5를 계산하도록 한 줄만 고쳤다. 학생은 파란 공의 개수로 다시 세어도 2/5가 된다는 점을 확인했지만, 두 방법을 모두 외우기보다 ‘반대 사건을 구했으면 1에서 뺀다’는 기준을 풀이 옆에 적었다.

이어진 문제에서는 주사위를 한 번 던져 4보다 큰 수가 나올 확률을 구했다. 학생은 전체 경우를 1부터 6까지 표로 만들고, 원하는 경우를 5와 6으로 표시했다. 이번에는 ‘4보다 크다’를 ‘4도 포함한다’고 읽지 않고, 부등호 방향을 확인한 뒤 원하는 경우 2개를 골라 확률을 2/6=1/3으로 정리했다. 질문이 부정형이 아니므로 불필요하게 1에서 빼지 않은 점도 직접 설명했다.

나열에서 나무그림으로 바꾼 적용

같은 판단을 다른 모양의 문제에도 적용하기 위해, 숫자만 바꾼 문제가 아닌 두 번의 선택 문제를 제시했다. 상자에 흰 공 2개와 검은 공 1개가 있고, 공을 한 번 뽑은 뒤 다시 넣고 두 번째 공을 뽑을 때 두 번 모두 흰 공일 확률을 묻는 문제였다.

학생은 가능한 결과를 단순히 한 줄로 나열하지 않고 나무그림을 그렸다. 첫 번째 선택에서 흰 공이 나오는 가지에는 2/3, 검은 공이 나오는 가지에는 1/3을 표시했다. 흰 공에서 다시 뻗는 두 번째 흰 공 가지에 2/3을 적고, 그 경로만 골라 2/3×2/3=4/9를 계산했다. 이전 문제처럼 전체 경우와 원하는 경우를 세는 말이 직접 나오지 않았지만, 나무그림의 모든 가지가 전체 경우를 나타내고 조건에 맞는 경로가 원하는 경우라는 점을 문장으로 설명했다.

질문을 ‘적어도 한 번 검은 공이 나올 확률’로 바꾸자 학생은 검은 공이 한 번도 나오지 않는 경우, 즉 두 번 모두 흰 공인 경우를 먼저 정했다. 그 뒤 1-4/9=5/9로 계산하고, 검은 공이 첫 번째에 나오는 경우와 두 번째에 나오는 경우를 따로 표시해도 5/9가 되는지 확인했다. 질문 방향이 바뀌었을 때 여사건을 선택하는 기준이 실제 풀이에 연결된 장면이었다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

한 주 뒤 강서동중2수학과외 시간에 학생은 동전을 두 번 던져 앞면이 적어도 한 번 나올 확률을 스스로 풀었다. 첫 줄에 전체 경우를 앞면-앞면, 앞면-뒷면, 뒷면-앞면, 뒷면-뒷면으로 나누어 4가지라고 적었다. 이어 원하는 경우 세 가지를 표시해 3/4를 구했다.

학생은 “적어도 한 번은 앞면”의 반대가 “두 번 모두 뒷면”이므로, 여사건을 사용하면 1-1/4=3/4라고 설명했다. 직접 나열한 원하는 경우의 비와 여사건 계산값이 같다는 검산 근거도 덧붙였다. 교사의 힌트 없이 전체 경우를 먼저 정하고, 질문에 맞는 경우를 고른 뒤, 다른 계산으로 같은 값을 확인하면서 처음의 잘못된 선택을 스스로 재현하지 않았다.