강서동 중2수학과외

전체 경우를 먼저 세우는 확률 풀이

강서동의 용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 생활권, 내덕칠거리 인근의 중2 수학 과외에서 학생은 확률 문제를 풀며 계산보다 먼저 무엇을 세어야 하는지 점검했다. 복대중학교, 서원중학교, 서경중학교, 솔밭중학교, 서현중학교가 포함된 생활권에서 강서동과외를 진행할 때도 확률 문제의 핵심은 숫자를 빠르게 계산하는 것이 아니라 전체 경우와 원하는 경우를 구분하는 데 있었다.

한 줄의 선택에서 시작된 오류

문제는 주머니에 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 있을 때 공을 한 개 뽑아 빨간 공이 나오지 않을 확률을 구하는 내용이었다. 학생은 문제에서 ‘빨간 공이 나오지 않는다’는 문장을 읽고, 빨간 공이 아닌 경우를 바로 세기보다 예제 풀이의 순서를 따라 빨간 공이 나올 확률부터 계산했다.

학생은 전체 공의 수를 5, 빨간 공의 수를 3이라고 표시해 3/5를 적었다. 여기까지는 맞았지만, 다음 줄에서 그 값을 그대로 답으로 옮기려 했다. 결과가 틀린 뒤가 아니라, ‘나오지 않을 확률’을 묻는 문장을 읽고도 원하는 경우를 빨간 공으로 먼저 정한 판단이 풀이가 어긋난 최초 지점이었다.

질문이 ‘아닌 경우’를 묻는다면, 먼저 반대 경우를 구한 뒤 전체 확률 1에서 빼는 기준을 사용한다.

필요한 교정 하나만 남기기

교사는 학생이 이미 적은 전체 경우 5와 빨간 공 3이라는 표시를 지우지 않게 했다. 대신 빨간 공이 나오는 확률을 구한 뒤, 문제의 질문에 맞게 1-3/5를 계산하도록 한 줄만 고쳤다. 학생은 파란 공의 개수로 다시 세어도 2/5가 된다는 점을 확인했지만, 두 방법을 모두 외우기보다 ‘반대 사건을 구했으면 1에서 뺀다’는 기준을 풀이 옆에 적었다.

이어진 문제에서는 주사위를 한 번 던져 4보다 큰 수가 나올 확률을 구했다. 학생은 전체 경우를 1부터 6까지 표로 만들고, 원하는 경우를 5와 6으로 표시했다. 이번에는 ‘4보다 크다’를 ‘4도 포함한다’고 읽지 않고, 부등호 방향을 확인한 뒤 원하는 경우 2개를 골라 확률을 2/6=1/3으로 정리했다. 질문이 부정형이 아니므로 불필요하게 1에서 빼지 않은 점도 직접 설명했다.

나열에서 나무그림으로 바꾼 적용

같은 판단을 다른 모양의 문제에도 적용하기 위해, 숫자만 바꾼 문제가 아닌 두 번의 선택 문제를 제시했다. 상자에 흰 공 2개와 검은 공 1개가 있고, 공을 한 번 뽑은 뒤 다시 넣고 두 번째 공을 뽑을 때 두 번 모두 흰 공일 확률을 묻는 문제였다.

학생은 가능한 결과를 단순히 한 줄로 나열하지 않고 나무그림을 그렸다. 첫 번째 선택에서 흰 공이 나오는 가지에는 2/3, 검은 공이 나오는 가지에는 1/3을 표시했다. 흰 공에서 다시 뻗는 두 번째 흰 공 가지에 2/3을 적고, 그 경로만 골라 2/3×2/3=4/9를 계산했다. 이전 문제처럼 전체 경우와 원하는 경우를 세는 말이 직접 나오지 않았지만, 나무그림의 모든 가지가 전체 경우를 나타내고 조건에 맞는 경로가 원하는 경우라는 점을 문장으로 설명했다.

질문을 ‘적어도 한 번 검은 공이 나올 확률’로 바꾸자 학생은 검은 공이 한 번도 나오지 않는 경우, 즉 두 번 모두 흰 공인 경우를 먼저 정했다. 그 뒤 1-4/9=5/9로 계산하고, 검은 공이 첫 번째에 나오는 경우와 두 번째에 나오는 경우를 따로 표시해도 5/9가 되는지 확인했다. 질문 방향이 바뀌었을 때 여사건을 선택하는 기준이 실제 풀이에 연결된 장면이었다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

한 주 뒤 강서동중2수학과외 시간에 학생은 동전을 두 번 던져 앞면이 적어도 한 번 나올 확률을 스스로 풀었다. 첫 줄에 전체 경우를 앞면-앞면, 앞면-뒷면, 뒷면-앞면, 뒷면-뒷면으로 나누어 4가지라고 적었다. 이어 원하는 경우 세 가지를 표시해 3/4를 구했다.

학생은 “적어도 한 번은 앞면”의 반대가 “두 번 모두 뒷면”이므로, 여사건을 사용하면 1-1/4=3/4라고 설명했다. 직접 나열한 원하는 경우의 비와 여사건 계산값이 같다는 검산 근거도 덧붙였다. 교사의 힌트 없이 전체 경우를 먼저 정하고, 질문에 맞는 경우를 고른 뒤, 다른 계산으로 같은 값을 확인하면서 처음의 잘못된 선택을 스스로 재현하지 않았다.

강서동 중2수학과외 학부모 후기

비가 세차게 오던 주말 오후, 아이가 문제집 한쪽 숫자를 손으로 가린 채 같은 문제를 다시 풀고 있더라고요. 답을 외워서 확인하는 게 아니라 숫자가 달라져도 앞에서 했던 판단이 그대로 맞는지 보려는 모습이었어요. 예예전에는 확인할 게 많으면 중요한 조건과 덜 중요한 부분을 한꺼번에 살피느라 뒤섞이는 경우가 있었거든요. 강서동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 장면이 눈에 들어왔는데, 다른 선택지 문제를 풀 때도 비슷한 방식으로 숫자를 가려 놓고 판단 과정을 다시 확인했어요. 한 번 더 살펴본 부분은 접어 두고 다음 문제로 넘어갔고요. 숫자만 바뀐 문제 앞에서 무엇을 먼저 봐야 하는지 스스로 짚어 가는 모습이 전과는 달랐습니다.

★★★★☆학부모 후기

새 풀이 노트를 만든 날, 지나가다 아이가 함수 문제를 붙잡고 있는 모습이 보이더라고요. 답을 바로 확인하는 대신 그래프를 다시 그려 놓고, 옆에 적힌 식과 모양이 맞는지 한참 들여다보고 있더라고요. 강서동 수학과외를 찾아보던 때부터 이런 장면을 유심히 보게 됐는데, 전에는 틀린 까닭보다 정답 자체를 외우려는 편이었거든요. 그날은 식에 들어 있는 조건이 그래프에도 제대로 나타났는지 하나씩 대조하고 있더라고요. 단순히 답이 맞는지만 보는 모습과는 꽤 달라 보였습니다. 노트에 그린 그래프와 식을 번갈아 확인하는 손길이 생각보다 오래 이어졌어요. 교과서를 다시 펼친 날에도 함수 단원에서 비슷한 확인이 눈에 들어왔어요. 식과 그래프를 나란히 놓고 대응되는 부분을 살핀 뒤, 필요한 내용 한 장면만 추려서 정리하고 책을 내려놓더라고요.

★★★★★학부모 후기

질문할 내용을 정리하던 밤에 아이가 수열 자료를 펼쳐 놓고 항 번호와 값을 각각 적고 있더라고요. 예예전에는 한 번 본 자료에서 필요한 부분만 따로 골라 다시 보는 일이 거의 없었는데, 그날에는 확인할 범위를 먼저 좁혀 둔 모습이었습니다. 강서동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 장면이 눈에 들어와서 잠깐 지켜보게 됐어요. 번호와 값을 나란히 적은 뒤 두 항 사이의 간격을 먼저 살피고, 그다음에 자료를 넘겼습니다. 그냥 답을 찾으려고 페이지를 뒤지는 것과는 순서가 달랐어요. 시험 직전 마지막 주말에는 우연히 수열 문제를 보게 됐는데, 풀이 옆에 항 번호와 값이 따로 남아 있었습니다. 예전엔 필요한 곳만 훑고 지나갔을 텐데 이번에는 두 항을 구분해 적어 둔 덕분에 어느 부분을 확인해야 할지 바로 보이더라고요.

★★★★★학부모 후기

강서동에서 과외를 시작한 뒤, 수행평가와 시험공부가 겹친 주간에도 아이가 예전처럼 무작정 새 문제만 찾지는 않았습니다. 선생님은 막힌 문제를 따로 모아 수업 끝에 다시 볼 내용만 몇 가지로 정리하고, 설명보다 이해했는지를 먼저 살펴주셨습니다. 오답을 함께 정리해본 날에는 한 문제 때문에 수학 전체를 포기하지 않는 모습이 보여 부모로서 마음이 놓였습니다.

★★★★★학부모 후기

강서동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이와 수업 계획을 이야기하는 시간이 늘었습니다. 예전에는 정해진 분량 없이 책상에 앉았지만, 선생님이 학교 진도에 맞춰 숙제와 복습량을 조절해 주셔서 부담 없이 공부했습니다. 시험기간에도 모르는 문제를 피하지 않고 하나씩 확인하려는 모습이 보기 좋았습니다.

★★★★★학부모 후기

강서동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 수행평가와 시험공부가 겹친 주에도 아이가 먼저 책상에 앉는 모습이 눈에 띄었습니다. 수업 끝에는 다시 볼 내용을 몇 가지로 정리해 주셔서, 오답을 모아 본 날에도 막힌 문제를 그냥 넘기지 않고 차분히 살펴보더군요. 한 문제 때문에 공부 전체를 포기하던 일이 줄어든 점이 가장 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기