강서동 중1수학과외

강서동 생활권에서 이어진 원과 부채꼴 풀이 기록

강서동과외 수업에서 학생은 원과 부채꼴의 요소를 연결해 읽는 문제를 풀었다. 원의 반지름이 6cm이고, 부채꼴의 중심각이 120°일 때 호의 길이와 부채꼴의 넓이를 구하는 문제였다.

계산보다 먼저 확인했어야 할 두 가지

학생은 그림에 표시된 반지름 6cm를 보고 곧바로 공책에 6×120=720이라고 적었다. 이어서 “호의 길이는 720cm”라고 답했다. 계산 자체보다 앞선 판단에서 문제가 생겼다. 120은 각도의 크기이고 6은 길이이므로, 두 수를 바로 곱할 수 없었다. 또한 부채꼴은 원 전체 중 일부이므로 중심각과 원 전체의 각을 비교해야 했다.

“부채꼴이 원에서 차지하는 부분은 120°가 360°에서 차지하는 만큼이다.”

학생은 이 문장을 식 옆에 적고, 먼저 원 전체의 둘레를 계산했다.

원 전체의 둘레는 2×3×6=36cm이다. 중심각 120°는 360°의 1/3이므로 호의 길이는 36×1/3=12cm이다. 부채꼴의 넓이도 같은 비율로 생각하여 원 전체 넓이 3×6×6=108㎠의 1/3인 36㎠로 구했다. 선생님은 이미 맞게 사용한 원의 반지름과 원 전체 계산은 그대로 두고, 중심각을 전체 각도와 비교하는 단계만 앞에 세우도록 교정했다.

그림을 돌리고 질문을 바꾼 적용

다음 문제에서는 부채꼴 그림을 오른쪽으로 돌려 놓고, 반지름 두 개가 만드는 각을 먼저 표시하지 않았다. 대신 “반지름 8cm인 원에서 호의 길이가 원둘레의 1/4일 때 중심각과 부채꼴의 넓이를 구하여라”라고 제시했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 이번에는 각도를 먼저 주지 않고 호와 원 전체의 관계에서 출발해야 했다.

학생은 원둘레의 1/4이라는 조건을 보고 부채꼴이 원의 1/4임을 표시했다. 원 전체의 중심각은 360°이므로 중심각은 360×1/4=90°라고 썼다. 원의 넓이는 3×8×8=192㎠이고, 그 1/4이므로 부채꼴의 넓이는 48㎠라고 정리했다. 이어 그림이 회전되어 있어도 중심은 같고, 두 반지름과 그 사이의 호가 부채꼴을 이룬다는 점을 한 줄로 설명했다.

• 중심각은 원 전체의 360°와 비교한다.
• 호의 길이와 부채꼴의 넓이는 같은 부분 비율을 사용한다.
• 그림의 방향이 바뀌어도 반지름, 중심각, 호의 관계는 바뀌지 않는다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 후 학생은 비슷한 그림을 보지 않고 다음 조건을 혼자 읽었다. 반지름 10cm인 원에서 부채꼴의 중심각은 72°이고, 원주율은 3으로 한다. 학생은 먼저 72÷360=1/5를 계산한 뒤, 원 전체 둘레 2×3×10=60cm에 1/5을 곱해 호의 길이를 12cm로 구했다. 원 전체 넓이 3×10×10=300㎠에도 1/5을 적용하여 부채꼴의 넓이를 60㎠로 답했다.

검산할 때는 호의 길이 12cm가 원둘레 60cm의 1/5인지 확인했고, 부채꼴의 넓이 60㎠도 원 전체 넓이 300㎠의 1/5인지 다시 대조했다. 답의 단위도 호의 길이는 cm, 넓이는 ㎠로 구분했다. 마지막으로 “72°는 360°의 1/5이므로 길이와 넓이 모두 원 전체의 1/5을 취한다”고 설명했다. 강서동중1수학과외에서 확인한 독립 풀이의 핵심은 계산 순서를 외우는 것이 아니라, 원과 부채꼴의 대응 관계를 조건에서 다시 찾아내는 데 있었다.