좌동 중3수학과외
좌동 생활권 중3수학과외에서 살펴본 인수분해의 한 장면
좌동과외 수업에서 서술형 인수분해 답안을 함께 확인했다. 해운대LG아파트와 SKVIEW아파트가 있는 생활권, 부산광역시립해운대도서관 인근에서 중학교 수학을 공부하는 학생들이 자주 만나는 유형이었다. 신곡중학교, 신도중학교, 부흥중학교, 상당중학교, 양운중학교가 포함된 생활권에서도 같은 식의 표현 전환이 문제에 활용될 수 있다.
이번에 다룬 식은 x²-(a+b)x+ab 형태였다. 핵심은 두 수 또는 두 식을 정할 때 단순히 곱만 맞추는 것이 아니라, 곱과 합, 그리고 부호를 함께 확인하는 것이다.
나란히 적은 두 표현에서 시작된 풀이
문제에는 다음과 같이 적혀 있었다.
x²-11x+24를 인수분해하고, 그 결과를 x²-(a+b)x+ab의 꼴과 연결하여 설명하시오.
학생은 답안에 먼저 다음처럼 썼다.
24의 인수는 3과 8이고, 3+8=11이므로
x²-11x+24=(x-3)(x-8)
따라서 a=3, b=8이다.
그런데 바로 아래에 제시된 다른 표현은 x²-(4+7)x+4×7이었다. 학생은 두 식을 나란히 놓고도 “4와 7도 곱이 28이므로 비슷한 인수”라고 표시한 뒤, 식의 조건을 끝까지 대조하지 않았다. 이때 계산 자체보다 먼저 어긋난 판단은 곱 조건 하나만 맞는 후보를 선택한 것이었다. 4×7=28은 맞지만, 원식의 마지막 항은 24이고 가운데 계수는 -11이므로 4와 7은 이 식의 인수가 될 수 없다.
두 조건을 분리해 다시 고른 인수
풀이를 전부 새로 쓰게 하지 않고, 잘못 고른 후보를 선택하는 행동만 고쳤다. 식 옆에 다음 두 줄을 따로 적게 했다.
- 두 수의 곱: 24
- 두 수의 합: 11
그리고 가운데 항이 -11x이므로 두 인수는 모두 음수여야 한다고 확인했다. 실제로 (-3)×(-8)=24이고, (-3)+(-8)=-11이다. 따라서 학생은 기존 계산 흐름을 유지하면서 인수를 다음과 같이 바로잡았다.
x²-11x+24=(x-3)(x-8)
이어서 x²-(a+b)x+ab와 비교하면 a+b=11, ab=24이며 a=3, b=8로 둘 수 있다고 설명했다. 여기서 중요한 것은 숫자 3과 8을 외우는 것이 아니라, 상수항은 곱, x의 계수는 두 수의 합과 부호라는 관계를 동시에 남기는 것이었다.
항의 배열을 바꾸어 다시 읽기
며칠 뒤에는 같은 형태를 다른 모양으로 제시했다.
다음 식을 인수분해하고, 두 괄호 안의 수가 어떤 관계를 갖는지 쓰시오.
49-14x+x²
이번에는 x²항이 맨 뒤에 있어 처음 문제와 배열이 달랐다. 학생은 먼저 항의 순서를 바꾸어 x²-14x+49로 읽었다. 그다음 상수항 49를 만드는 두 수를 살펴보되, 합이 14이고 가운데 항의 부호가 음수라는 조건을 함께 확인했다. 7×7=49, 7+7=14이므로 두 수는 -7과 -7이다.
따라서 답은 다음과 같다.
49-14x+x²=x²-14x+49=(x-7)(x-7)
앞 문제의 숫자나 괄호 배열을 그대로 대입한 것이 아니라, 식을 x²-(a+b)x+ab의 구조로 다시 읽고 곱·합·부호를 새로 결정한 것이다.
힌트 없이 확인한 마지막 문제
마지막에는 별도의 표시나 질문 없이 다음 식만 제시했다.
x²+2x-15를 인수분해하고, 결과를 전개하여 확인하시오.
학생은 먼저 상수항 -15를 만드는 두 수를 적었다. 3과 -5는 곱이 -15이고 합이 -2이므로 가운데 항이 +2x가 되지 않는다. 반대로 -3과 5는 곱이 -15이고 합이 2이므로 조건을 모두 만족한다. 학생은 스스로 다음과 같이 작성했다.
x²+2x-15=(x-3)(x+5)
전개하면 x²+5x-3x-15=x²+2x-15
곱만 맞는 후보를 고르지 않고, 두 수의 합이 가운데 계수와 일치하는지, 부호가 상수항과 맞는지 차례로 설명했다. 마지막 전개 결과가 처음 식과 같으므로 인수분해가 올바르다는 근거도 제시했다. 좌동중3수학과외에서 확인한 이번 변화는 계산량보다, 서로 다른 표현 속에서도 같은 곱·합·부호 관계를 스스로 선택한 데 있었다.