좌동 고3수학과외

표와 그래프가 바뀌어도 놓치지 않는 극한과 함수값

부흥고등학교와 양운고등학교가 있는 좌동 생활권에서 진행한 풀이 기록을 살펴보면, 이 학생은 식으로 제시된 문제를 표나 그래프로 바꾸는 데에는 익숙했다. 그러나 표현이 달라지는 순간 앞 문제의 풀이 순서를 그대로 가져오는 습관이 드러났다. 극한과 함수값을 구분하는 문제에서 필요한 것은 계산 순서의 암기가 아니라, x가 a에 가까워지는 상황과 x=a에서 실제로 정해진 값을 따로 읽는 일이었다.

그래프의 빈 점과 채운 점을 식의 조건으로 되돌리기

처음 제시한 함수는 다음과 같았다.

f(x)=(x²−1)/(x−1) (x≠1), f(1)=3

학생은 분자를 인수분해해 f(x)=x+1이라고 정리한 뒤, 곧바로 “x=1에서 함수값도 2”라고 적었다. 최초의 오류는 계산 자체가 아니라 x≠1이라는 조건을 지운 채 약분한 식을 x=1에도 적용한 것이었다. 실제로 x가 1에 가까워질 때의 값은 2이지만, x=1에서 따로 정해진 함수값은 3이다.

표로 바꾸어 확인하자 x=0.9, 0.99, 1.01에서 함수값이 각각 1.9, 1.99, 2.01에 가까워지는 모습이 나타났다. 반면 x=1인 행에는 3을 적어야 했다. 그래프에서는 직선 y=x+1 위의 (1, 2)가 빈 점이고, (1, 3)이 채운 점이다. 학생은 이 두 점을 하나의 점처럼 연결해 읽고 있었던 셈이다.

교정은 복잡하지 않았다. 첫 줄 옆에 “x→1: 주변값, x=1: 지정값”이라고 나누어 적고, 약분한 식에는 원래 조건 x≠1을 다시 표시하게 했다. 이후 식·표·그래프 중 어떤 형식이 먼저 나오더라도 ‘접근하는 값’과 ‘경계에서 정해진 값’을 각각 한 칸에 기록했다. 이 구분을 익히는 과정에서 좌동과외 수업에서는 정답보다 두 값이 달라지는 지점을 먼저 말하도록 지도했다.

표현이 바뀐 반례로 풀이 순서의 복사를 막다

단순히 숫자만 바꾼 문제 대신, 이번에는 그래프 설명을 표와 조각함수로 바꾸었다.

g(x)=2x+1 (x<0), g(x)=x²+2 (x≥0)

학생은 오른쪽 식에 0을 대입해 함수값이 2라는 사실을 확인한 뒤, “그래프가 이어지므로 극한도 2”라고 판단했다. 하지만 왼쪽에서 다가가면 2x+1은 1에 가까워지고, 오른쪽에서 다가가면 x²+2는 2에 가까워진다. 좌극한과 우극한이 다르므로 양쪽 극한은 존재하지 않는다. 함수값은 오른쪽 조건에 의해 g(0)=2로 정해진다.

이번에는 식을 먼저 계산하지 않고, 경계 x=0을 세로선처럼 표시한 뒤 왼쪽·오른쪽·경계의 세 칸을 만들었다. 왼쪽 칸에는 1, 오른쪽 칸에는 2, 경계 칸에는 2를 적었다. 이 표만으로도 “함수값은 있지만 극한은 없다”는 결론이 보였다. 그래프에서 왼쪽 끝의 높이와 오른쪽 끝의 높이가 다르게 보일 때도 같은 표를 만들도록 했다.

힌트 없는 재풀이에서 남은 판단

다음 날에는 식이 아니라 다음과 같은 표가 주어졌다.

x가 2보다 작은 값으로 가까워질 때 y는 5에 가까워진다.
x가 2보다 큰 값으로 가까워질 때 y는 5에 가까워진다.
x=2일 때 함수값은 1이다.

학생은 곧바로 좌우 접근값을 따로 확인한 뒤 두 값이 같으므로 극한은 5, 함수값은 1이라고 설명했다. 이번에는 식을 약분하거나 그래프의 빈 점을 추측하지 않고, 자료 형식이 표로 바뀌었어도 같은 관계를 재구성했다.

마지막 반례에서는 좌극한이 4, 우극한이 6, 함수값이 4인 자료를 제시했다. 학생은 함수값과 한쪽 접근값이 같다는 이유로 극한을 4라고 하지 않고, 먼저 좌우 값이 다르다는 근거를 들어 양쪽 극한이 존재하지 않는다고 결론 냈다. 이어 “x=2에서의 값과 x가 2로 다가갈 때의 값은 별개의 정보”라고 설명했다. 표현이 식에서 표와 그래프로 바뀌어도 접근값, 좌우 비교, 경계의 실제값을 분리하는 판단이 유지된 것이다.

좌동 고3수학과외 학부모 후기

잠들기 전 불을 끄러 갔다가 책상 위를 보게 됐는데, 아이가 미분 문제 옆에서 도함수 부호표만 다시 그려 보고 있더라고요. 문제 전체를 붙잡고 있는 게 아니라 근처에 적힌 내용 중 헷갈렸던 부분만 골라 손보고 있어서 잠깐 지켜봤어요. 좌동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 장면을 몇 번 봤지만, 그 자체보다 예전과 달라진 점이 눈에 띄었습니다. 예전에는 모르는 부분이 있어도 자료를 처음부터 계속 반복해서 보는 편이었거든요. 이번에는 도함수의 근을 먼저 표시하고, 그 근을 기준으로 나뉜 구간마다 부호를 직접 채워 표를 만들었습니다. 나중에 모의고사 문제를 풀 때도 같은 방식으로 각 구간의 부호부터 표에 적고, 이어서 볼 곳을 따로 표시해 두더라고요. calc.

★★★★★학부모 후기

주말에 시험 범위를 다시 펼쳐 놓은 아이가 틀린 문제를 처음부터 훑더니, 계산 결과가 아니라 첫 번째로 어긋난 식을 찾아 표시하더라고요. 자료 여기저기에 표시하는 게 아니라 필요한 한 부분만 체크하고 덮는 모습이었습니다. 예예전에는 확인하지 못한 문제까지 그대로 접어 두는 날이 많았거든요. 학교에서 단원평가를 본 날에도 잠깐 방에 들어가 보니 오답 문제의 처음 틀린 식만 네모로 묶어 두었어요. 어디서부터 고쳐야 하는지 남겨 둔 것처럼 보였고, 답 전체를 다시 적어 놓은 건 아니었습니다. 좌동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 저는 이런 장면이 더 눈에 들어왔는데, 그날에는 네모 안의 식부터 다시 보고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 전 마지막 복습을 하던 저녁에 맞힌 문제를 그냥 넘기지 않고, 다른 풀이가 가능한지 따로 비교하고 있더라고요. 다시 볼 부분은 섞이지 않게 따로 남겨두고요. 예예전에는 공부가 끝나면 이미 푼 문제를 다시 꺼내 보는 일이 거의 없었거든요. 모의고사 성적표를 받아온 날에도 제가 먼저 묻기 전에 아이가 맞힌 문제 하나를 펼쳤어요. 틀린 문제만 확인할 줄 알았는데, 같은 답이 나온 풀이를 살펴보면서 더 짧게 풀 수 있는지도 비교했습니다. 좌동 수학과외 이야기를 나눌 때도 이런 장면이 가장 눈에 들어왔는데, 이번에는 맞힌 문제를 다시 보는 이유가 예전과 달라 보이더라고요.

★★★★★학부모 후기

저녁 숙제를 하다 틀린 문제를 조용히 덮던 아이가 좌동 수학과외를 시작한 뒤에는 수업 전 틀린 문제를 먼저 펼쳐 보입니다. 선생님은 모른다고 해도 괜찮다며 천천히 질문하고 스스로 생각할 시간을 주셨고, 몇 차례 지나자 아이가 눈치 보지 않고 질문하는 모습이 보여 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기

학교 행사로 귀가가 늦은 날에도 예전 같으면 책을 펴지 않았는데, 좌동 수학 과외를 시작한 뒤에는 선생님과 정한 복습 시간만큼은 지키려고 했습니다. 선생님은 다음 수업 전 할 일을 짧게 나눠 주셔서 기억하기 쉬웠고, 무리하게 옆에서 끌고 가지 않아 혼자 이어 가기도 편했습니다. 계획이 밀린 날에도 포기하지 않고 다시 조정하는 습관이 조금씩 생겼습니다.

★★★★★학부모 후기

좌동에서 과외를 시작할 때만 해도 아이는 설명을 들으면 고개를 끄덕이면서도 혼자 공부할 때는 어디서부터 손대야 할지 몰라 했습니다. 선생님은 학교 행사로 시간이 줄어든 날에도 다음 수업까지 할 일을 짧고 분명하게 나눠 주고, 이해했는지 살피며 복습 시간을 함께 정했습니다. 시험기간에 계획이 조금 밀려도 다시 조정해 이어가는 모습이 자연스러워졌고, 공부를 대하는 마음도 한결 편안해졌습니다.

★★★★★학부모 후기