원순열에서 회전과 뒤집기를 구분하는 법

원탁에 사람을 배치할 때는 시작점을 어디로 잡았는지가 중요하지 않습니다. 하지만 시계방향 배열과 반시계방향 배열까지 같은 것으로 볼지는 별도의 조건입니다. 이 차이를 놓치면 경우의 수를 불필요하게 절반으로 줄이게 됩니다. 좌동과외에서는 이런 동치 기준을 먼저 확인한 뒤 계산하도록 지도합니다.

거울상까지 같은 배열일까?

네 명 A, B, C, D를 원탁에 앉히는 경우를 생각해 봅시다. A를 한 자리에 고정하면 나머지 세 사람의 배열만 바뀌므로 일반적인 원순열의 수는

(4-1)! = 3! = 6

입니다. 예를 들어 시계방향으로 A-B-C-D가 앉은 배열과 A-D-C-B가 앉은 배열을 비교해 보겠습니다. 두 배열은 시계방향 순서가 서로 반대인 거울상입니다.

회전만 허용하는 원탁배치

원탁에서는 A-B-C-D를 B-C-D-A로 바꾸어도 실제 배치는 같습니다. 시작점을 옮긴 것뿐이기 때문입니다. 그러나 A-B-C-D와 A-D-C-B는 회전만으로 서로 바꿀 수 없습니다. 따라서 두 배열은 서로 다른 배치로 셉니다.

일반 원순열에서는 반사까지 동일시하지 않으므로 네 사람의 배치는 6가지입니다.

뒤집기도 같은 것으로 보는 목걸이배열

목걸이를 뒤집어도 같은 장식으로 취급한다면 시계방향과 반시계방향을 구분하지 않습니다. 이때는 각 배열이 거울상과 짝을 이루므로, 서로 다른 네 사람이 배치되는 경우의 수는

3! ÷ 2 = 3

입니다. 단, 반사했을 때 자기 자신과 같아지는 특별한 배열이 존재하는지에 따라 단순히 2로 나누는 방법이 항상 성립하는 것은 아닙니다. 서로 다른 사람만 원탁에 배치하는 현재 예에서는 모든 배열이 거울상과 서로 다른 짝을 이루므로 나눌 수 있습니다.

문제의 표현으로 동치 기준 확인하기

다음 문제를 보겠습니다.

문제. 서로 다른 5명을 원탁에 앉힐 때, 회전해서 같아지는 배치만 같은 것으로 본다. 가능한 배치의 수를 구하여라.

문제에서 ‘회전해서 같아지는 배치만 같은 것으로 본다’고 했으므로 뒤집은 배열은 별개의 배치입니다. 한 사람을 고정하면 나머지 네 명을 배열하는 문제이므로

(5-1)! = 4! = 24

입니다.

반대로 ‘뒤집어서도 같은 것으로 본다’, ‘목걸이처럼 양면을 구별하지 않는다’와 같은 표현이 있다면 반사까지 고려해야 합니다. 이때는 조건에 맞는지 확인한 뒤 원순열 값을 2로 나누어 12를 얻습니다.

답안에서 피해야 할 실수

원탁이라는 이유만으로 항상 2로 나누는 것
회전과 반사를 같은 변환으로 생각하는 것
목걸이배열과 일반 원순열의 동치 기준을 구분하지 않는 것
문제에서 요구한 ‘배치의 수’와 실제로 계산한 값을 다르게 쓰는 것

서술형에서는 먼저 “회전만 같은 것으로 본다” 또는 “회전과 뒤집기를 모두 같은 것으로 본다”라고 기준을 밝히면 계산의 근거가 분명해집니다. 고3수학과외를 찾는 학생이라면 공식 암기보다 변환에 따른 동치 관계를 그림으로 비교하는 연습이 효과적입니다.

최종 점검

원탁배치는 기준점을 고정해 회전을 제거하고, 반사까지 제거할지는 문제의 조건으로 판단합니다. 따라서 일반 원순열은 (n-1)!, 회전과 뒤집기를 모두 같은 것으로 보는 경우는 조건을 확인한 뒤 보통 (n-1)!/2로 계산합니다. 핵심은 계산 전에 어떤 배치를 같은 것으로 취급하는지 확인하는 것입니다.

좌동 고2수학과외 학부모 후기

단원평가를 본 날, 아이가 적분 문제를 풀다가 그래프의 교점과 구간 경계 부분만 다시 짚어 표시하고 있더라고요. 식을 바로 적는 게 아니라 그래프에서 필요한 위치를 먼저 확인한 뒤 식을 세우는 모습이 눈에 띄었어요. 예예전에는 공부를 끝내면 그날 놓친 부분까지 따로 살피지 않고 문제집을 그대로 덮어두는 일이 많았거든요. 좌동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 저는 아이가 문제를 어디서부터 보는지 유심히 보게 됐어요. 특히 이번에는 풀이 전체를 다시 건드린 게 아니라 교점과 적분구간의 경계만 골라 표시했다는 점이 달랐습니다. 필요한 부분을 찾아서 손을 대고 있다는 느낌이었어요. 주말에 시험 범위를 다시 펼쳤을 때도 그래프 한쪽에 교점과 적분구간 경계를 표시해 두었더라고요. 여러 곳에 흔적을 남긴 게 아니라 필요한 한 부분만 체크하고 자료를 덮어서, 앞에서 확인했던 기준을 그대로 적용하고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

교과서를 다시 펼쳐 보던 날, 아이가 문제의 숫자 몇 군데를 손으로 가리고 풀이를 이어 가더라고요. 숫자가 달라져도 처음 세웠던 판단이 맞는지 확인하려는 것처럼 보였고, 마지막에는 필요한 한 장면만 따로 정리해 두고 책을 치웠어요. 새 풀이 노트를 만든 날에도 비슷한 장면을 봤습니다. 방에 잠깐 들어갔는데, 같은 문제를 그대로 베껴 푸는 게 아니라 숫자 부분을 가린 채 다시 계산하고 있더라고요. 예전에는 틀린 까닭을 찾아보기보다 답이 무엇이었는지를 외우려는 쪽에 가까웠거든요. 좌동 수학과외 이야기를 나누며 알게 된 건 이런 작은 확인이 집에서도 이어진다는 점이었어요. 답을 맞혔는지만 보는 게 아니라, 숫자를 가려도 같은 판단으로 풀리는지 노트에 다시 남겨 보고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

처음에는 질문을 잘 못하고 수업에서 맞힌 문제도 집에 가면 다시 설명해보지 않았는데, 좌동에서 과외를 시작한 뒤 분위기가 조금씩 달라졌습니다. 선생님은 오답을 정리하다가 아이의 준비 상태를 살피고, 학교 과제와 시험 일정을 고려해 숙제와 수업량을 조절해 주셨습니다. 요즘은 어려운 문제가 나와도 바로 피하지 않고 공책을 펼쳐 자기 말로 풀이를 이어가려는 모습이 보여 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기

수행평가가 겹쳐 숙제가 평소보다 많이 남은 날에도 아이는 좌동 수업에 빠지지 않고 참여했습니다. 선생님은 진도를 무리하게 밀지 않고 할 수 있는 문제부터 함께 풀며 편하게 집중하도록 이끌어 주셨고, 풀이를 다시 확인하는 습관도 자연스럽게 챙겨 주셨습니다. 요즘은 답이 틀려도 바로 포기하지 않고 한 번 더 살펴보는 모습이 보여 성적보다 먼저 반가운 변화를 느꼈습니다.

★★★★★학부모 후기

좌동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 질문할 문제를 표시해 두는 모습부터 달라졌습니다. 예전에는 모르는 문제를 그냥 넘겼지만, 선생님은 학교 과제와 시험 일정을 살펴 숙제와 복습량을 조절하고 스스로 공부할 시간도 남겨 주셨습니다. 지난주에 틀린 문제를 다시 만났을 때도 피하지 않고 먼저 풀어 보려는 모습이 보여 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기