좌동 고등수학과외

좌동 고등수학과외에서는 조건부확률 문제를 풀 때 계산보다 먼저 ‘어떤 조건을 이미 알고 있는가’를 확인하게 한다. 부흥고등학교와 양운고등학교 학생들이 학교 자료로 정리한 18개 문항을 살펴보면, 분모가 달라지는 까닭을 한 줄로 설명하는 과정에서 풀이의 방향이 갈리는 경우가 많았다. 해운대LG아파트와 SKVIEW아파트 생활권에서 진행한 학습에서도 같은 장면이 나타났다.

분모는 전체가 아니라 조건을 만족하는 집합이 된다

조건부확률은 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)로 정의된다. B라는 사실을 알고 난 뒤에는 표본공간 전체를 그대로 세지 않고 B 안에서 다시 비율을 계산한다. 따라서 분모 P(B)는 단순히 아래에 붙이는 숫자가 아니라, 조건이 주어진 순간 새롭게 정해진 비교 대상이다.

학생은 18개 자리를 풀면서 각 문항의 ‘분모가 바뀌는 이유’를 한 줄씩 적었다. 처음에는 “조건부확률이라서 분모가 바뀐다”라고만 썼다. 식은 맞아 보였지만, 왜 P(B)가 분모에 놓이는지 설명하지 못했다. 예를 들어 주머니에 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 있고, 꺼낸 공이 빨간색이라는 조건에서 큰 공일 확률을 묻는다면 전체 5개를 기준으로 계산할 수 없다. 빨간 공 3개만 남은 것으로 보고 그 안에서 큰 공의 비율을 구해야 한다.

처음 틀린 순간은 조건을 확인하기 전이었다

한 문항에서 전체 학생 18명 중 안경을 쓴 학생이 6명, 그중 여학생이 4명이라고 했다. “안경을 쓴 학생이 여학생일 확률”을 묻자 학생은 분자를 4, 분모를 전체 학생 수 18로 적어 4/18을 제시했다. 여기서 첫 오류가 발생했다. 질문의 조건인 ‘안경을 쓴 학생’이 분모의 기준이 되어야 하는데, 조건을 읽기 전에 전체 표본공간을 그대로 사용한 것이다.

학생은 이어서 “여학생이면서 안경을 쓴 학생의 수를 전체 학생 수로 나눈다”고 설명 후보를 확정했다. 그러자 조건부확률이 아니라 결합확률을 계산한 셈이 되었다. 선생님은 정답만 고치지 않고 표를 다시 그리게 했다. 안경을 쓴 6명을 한 칸 안에 모은 뒤, 그중 여학생 4명을 표시하자 P(여학생|안경)=4/6이라는 구조가 보였다.

한 줄 설명을 다시 만드는 훈련

부호와 기호를 바꾸어 쓰는 훈련도 함께 진행했다. P(여학생|안경)은 “안경이라는 조건 아래에서 여학생을 찾는다”라고 읽고, P(안경|여학생)은 “여학생이라는 조건 아래에서 안경을 찾는다”라고 읽었다. 두 식은 분자가 같을 수 있어도 분모가 달라진다. 전자는 안경을 쓴 6명이 기준이고, 후자는 여학생 전체가 기준이다.

조건 뒤에 있는 사건이 새로운 표본공간을 정하고, 그 안에서 앞의 사건이 차지하는 비율을 구한다.

이 문장을 외운 뒤에는 식을 쓰기 전에 조건에 해당하는 사람만 동그라미 치게 했다. 분모를 먼저 말하고 분자를 나중에 찾는 순서로 바꾸자, 분자와 분모를 한꺼번에 적다가 뒤섞이는 실수가 줄었다.

조건의 순서를 바꾼 새 문제

다음에는 수치를 바꾸어 혼자 적용했다. 20명의 학생 중 축구를 좋아하는 학생은 12명, 그중 여학생은 5명이고, 여학생은 8명이라고 하자. “축구를 좋아하는 학생 중 여학생일 확률”은 5/12이다. 반대로 “여학생 중 축구를 좋아할 확률”은 5/8이다. 같은 5명을 세더라도 조건의 방향이 바뀌면 분모가 달라진다.

학생은 이전 풀이를 보지 않고 두 질문에 각각 “기준 집단은 축구를 좋아하는 12명”, “기준 집단은 여학생 8명”이라고 적었다. 이어 조건을 만족하는 집단이 0명이면 조건부확률을 정의할 수 없다는 점도 확인했다. 분모 P(B)가 0이면 나눌 수 없으므로, 조건이 실제로 가능한지 먼저 살펴야 한다.

분자를 바꾸고 분모를 그대로 둔 반례

마지막에는 분자만 바꾸고 분모를 유지하는 풀이를 검증했다. 축구를 좋아하는 학생 중 여학생일 확률을 5/12로 구한 뒤, 조건을 여학생으로 바꾸면서도 5/12를 그대로 쓰면 5/8과 달라진다. 여학생이 8명이라는 사실을 대입하면 기존 식은 “여학생 집단에서 비율을 구했다”는 뜻이 될 수 없다.

또 5/12와 5/8을 각각 원래 자료에 재대입했다. 12명의 축구 선호 학생 중 5명은 5/12와 일치하지만, 여학생 8명 중 축구를 좋아하는 5명은 5/8과 일치한다. 분모를 조건 집단의 크기로 바꾸는 이유가 계산 규칙이 아니라 실제 비교 집단의 변화라는 점이 확인되었다.

자주 묻는 질문

조건이 뒤에 있다는 것은 무슨 뜻인가요?

세로선 뒤의 사건이 이미 알려진 조건이며, 그 사건에 해당하는 결과만 남겨 표본공간을 다시 정한다는 뜻이다.

분자와 분모가 같은 사건을 포함해도 되나요?

가능하다. 다만 분모는 조건 사건의 확률이고, 분자는 두 사건이 동시에 일어날 확률이어야 한다.

결합확률과 조건부확률은 어떻게 구별하나요?

전체 결과 중 두 조건이 함께 일어날 비율이면 결합확률이고, 특정 조건을 만족하는 결과만 남긴 뒤 그 안에서 비율을 구하면 조건부확률이다.

조건부확률에서 분모가 0이면 어떻게 하나요?

조건 사건이 일어날 가능성이 없으므로 해당 조건부확률은 정의되지 않는다.

좌동 고등수학과외 학부모 후기

다음 모의고사 해설을 펼치기 전, 아이가 계산부터 하지 않고 문제의 조건 문장에 먼저 작은 표시를 해두더라고요. 예예전에는 공부를 끝낸 뒤에도 자기 풀이를 다시 살펴보는 일이 거의 없어서 답만 맞으면 그대로 넘어가곤 했거든요. 그날에는 공부 계획표를 새로 적던 저녁이었어요. 책상 주변을 치우다가 시험지를 봤는데, 여러 문장에 표시한 게 아니라 필요한 조건에만 동그라미가 쳐져 있었습니다. 그 부분을 한 번 읽고 나서야 풀이를 다시 시작하는 모습이 눈에 들어왔어요. 좌동 수학과외를 찾아보게 된 것도 이런 공부 장면을 조금씩 눈여겨보던 때였는데, 이번에는 계산을 마친 뒤 그냥 지나가지 않고 다시 확인한 지점을 자료에 남겨두었어요. 답지를 먼저 펼친 흔적 없이 자기 계산과 조건을 차례로 살핀 게 보였습니다.

★★★★☆학부모 후기

다음 수업에서 물어볼 내용을 정리하던 밤, 아이가 기하 자료를 펼쳐 놓고 필요한 조건만 따로 옮긴 새 그림을 그리고 있더라고요. 예예전에는 한 번 본 자료를 다시 꺼내도 필요한 부분을 골라 따로 정리하는 모습이 없었는데, 이번에는 그림을 새로 만든 뒤 그 안에서 풀이를 이어 갔어요. 확인할 곳도 전보다 좁혀져 있어서 자료를 한데 펼쳐 두지 않고 관련된 부분만 남겨 정리했습니다. 시험 직전 마지막 주말에 보았던 페이지도 기억나요. 문제의 그림을 그대로 따라가지 않고 조건을 새 그림에 옮겨 적어 둔 상태였거든요. 좌동 수학과외 관련 자료를 보다가 우연히 본 장면인데, 답이나 풀이를 먼저 찾기보다 필요한 조건이 들어간 그림부터 다시 만들어 놓은 점이 눈에 띄었어요.

★★★★★학부모 후기

새 단원 숙제를 마친 문제집을 펼쳐 보다가 여백 한쪽에 조그맣게 남은 표시를 발견했어요. 처음엔 무엇을 적어둔 건가 했는데, 계산이 틀어지기 시작한 자리만 짚어 놓은 흔적이더라고요. 좌동 수학과외를 찾아보던 때부터 아이 문제집을 가끔 살펴봤지만, 이런 식으로 표시한 건 처음 봤습니다. 전에는 복습할 때 앞부분부터 문제를 전부 다시 훑는 경우가 많았거든요. 그런데 이번에는 실수가 난 지점을 따로 구분해 두고 그 부분만 확인한 뒤 지나갔어요. 틀린 문제 전체를 붙잡고 있기보다 계산이 어긋난 시작점을 먼저 찾은 셈이라 눈에 띄었습니다. 새 단원 문제를 처음 읽던 날에도 비슷한 표시가 보이더라고요. 계산 과정에서 어긋난 위치에 작게 흔적을 남기고, 그 한 군데를 살핀 다음 곧바로 다음 문제로 넘어가고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

좌동에서 수학과외를 시작한 뒤 아이가 수업이 어땠는지 부모에게 먼저 이야기하는 날이 늘었습니다. 시험 전 주말에는 한 과목 공부가 예상보다 길어져 계획이 흐트러졌는데, 선생님께서 그 상황을 함께 살피며 숙제와 진도를 무리 없이 조절해 주셨습니다. 요즘은 어려운 문제에 오래 매달리기보다 풀이를 다시 확인하고 다음 공부로 넘어가려는 모습이 보여 좋게 느껴집니다.

★★★★☆학부모 후기

좌동에서 처음 과외를 시작한 날, 낯을 많이 가려 선생님께 말도 잘 못 하고 다음 진도만 빨리 나가고 싶었습니다. 다만 막히는 문제마다 바로 답을 주기보다 어디까지 이해했는지 차분히 물어봐 주셔서 조금씩 편하게 대화하게 됐습니다. 요즘은 모르는 문제를 그대로 지나치지 않고 먼저 질문하려는 제 모습이 가장 달라졌습니다.

★★★★★학부모 후기

학원과 학교 일정이 겹쳐 귀가가 늦어진 날에도 선생님은 아이의 상태를 먼저 살피며 수업 속도를 조절해 주셨습니다. 좌동에서 과외를 시작할 때만 해도 문제 수가 많으면 금세 부담을 느꼈는데, 이제는 모르는 문제를 표시해 두었다가 편하게 질문하고 숙제도 무리하지 않는 방법으로 정리합니다. 수업 후에는 결과보다 그날의 집중도와 이해한 부분을 알려주셔서 부모로서도 안심이 됐습니다.

★★★★☆학부모 후기