거두지구 중등수학과외

거두지구중등수학과외, 42·56 직각삼각형에서 빗변과 직각변 식을 구분해 확인하기

피타고라스 정리는 한 공식을 외우는 것보다, 지금 구하려는 변이 무엇인지 읽어 식의 자리를 정하는 일이 중요합니다. 두 직각변이 42, 56인 직각삼각형의 빗변을 구하는 문제에서는 직각의 맞은편 변이 빗변이며, 그 길이를 c라고 두면 42²+56²=c²입니다. 반면 빗변 70과 한 직각변 42가 주어지고 다른 직각변을 구할 때는 미지수가 빗변이 아닙니다. 기본 문제를 설명할 수 있어도 이 조건 차이에서 풀이의 첫 줄을 혼자 정하기 어려운 장면은 충분히 있을 수 있습니다.

빗변을 구하는 문제는 왜 제곱을 더할까

기본 문제에서는 42와 56이 직각을 이루는 두 변이고, 구할 c가 빗변입니다. 피타고라스 정리 a²+b²=c²에서 빗변의 제곱은 두 직각변 제곱의 합이므로 c²=42²+56²가 됩니다. 42²=1764, 56²=3136이어서 c²=4900, 따라서 c=70입니다. 길이는 음수가 될 수 없으므로 -70이 아니라 70을 답으로 씁니다. 정사각형 넓이 그림에서는 42²와 56²의 넓이를 합친 값 4900이 빗변 위 정사각형의 넓이가 된다는 관계도 함께 볼 수 있습니다. 여기서 ‘제곱을 더한다’는 말만 남기지 않고, 직각의 맞은편에 있는 변을 c로 표시한 뒤 식을 쓰게 하면 더하기가 필요한 이유가 드러납니다. 검산도 42²+56²=1764+3136=4900=70²로 원래 관계에 다시 대입해 확인합니다.

같은 세 변의 길이여도 미지수 자리가 달라집니다

비교 문제는 빗변이 70, 한 직각변이 42이고 다른 직각변을 x로 구합니다. 직각 표시와 빗변 표시를 먼저 한 뒤 42²+x²=70²라고 적어야 합니다. 이번에는 x²가 한쪽에 남아 있으므로 x²=70²-42²=4900-1764=3136, x=56입니다. 기본 문제의 답 70과 비교 문제의 답 56은 같은 42·56·70 관계에서 나오지만, 첫 문제는 빗변을 찾아 제곱을 합했고 두 번째 문제는 직각변을 찾아 이미 알려진 빗변 제곱에서 42²를 뺍니다. 예를 들어 이 문제에서 42²+70²=x²처럼 썼다면 70이 빗변이라는 조건과 맞지 않습니다. 빗변은 가장 긴 변이므로, 다른 직각변 x가 70보다 길어지는 계산 결과가 나오지 않는지도 함께 살필 수 있습니다.

두 줄의 첫 식을 비교해 다음 적용을 확인합니다

풀이를 고칠 때는 답만 지우고 다시 계산하기보다, 첫 줄에 표시한 빗변과 미지수를 비교합니다. 한 줄에는 ‘42²+56²=□²’, 다른 줄에는 ‘42²+□²=70²’처럼 적어 놓으면 어느 칸이 빗변인지 즉시 보입니다. 교사는 “기본 문제와 비교 문제에서 달라진 조건은 무엇인가요?”처럼 짧게 묻고, 막힌 경우에만 직각의 맞은편 변을 가리켜 보게 할 수 있습니다. 비교 문제를 독립적으로 풀 때는 풀이 방향이나 정답을 먼저 주지 않고, 학생이 선택한 첫 식과 계산을 확인합니다. 이후 42²+56²=70²인지 대입하여 x=56을 검산합니다. 다음 단계에서는 ‘모르는 변이 빗변일 때와 직각변일 때 식이 같은가’라는 질문에 빗변 위치와 더하기·빼기의 이유를 말하고, 빗변 70과 직각변 42가 주어진 문제를 스스로 풀어 56에 도달하는지를 살핍니다.