거두지구 중3수학과외

거두지구 중3수학과외, 표와 그래프를 서로 읽는 연습

거두지구과외 수업에서 이차함수의 식, 표, 그래프가 한 문제 안에서 다르게 제시될 때 어떤 정보를 서로 대응시켜야 하는지 살펴보았습니다. e-편한세상아파트와 롯데캐슬아파트가 있는 생활권, 대룡중학교와 남춘천중학교가 포함된 주변에서 중3수학과외를 진행하며, 이번에는 이차함수의 다른 성질로 넓히지 않고 표와 그래프에서 식의 변화가 어떻게 나타나는지 확인하는 일에만 집중했습니다.

오답노트에 남아 있던 두 표현

학생의 오답노트에는 다음 문제가 적혀 있었습니다.

함수 y=(x-2)²+1의 그래프에서 x=0일 때의 y의 값을 구하고, 표의 빈칸을 채워라.

표에는 x의 값이 0, 1, 2, 3으로 제시되어 있었고 y의 한 칸만 비어 있었습니다. 학생은 식에 x=0을 대입해

y=(0-2)²+1=5

라고 계산했습니다. 이 계산 자체는 맞았습니다. 그런데 옆에 그려진 그래프를 보고는 “그래프가 오른쪽으로 올라가므로 x=0에서는 y=1일 것 같다”고 적은 뒤, 표의 빈칸에 1을 써서 답을 1로 고쳤습니다.

오답을 복기할 때 학생은 식과 그래프를 나란히 놓았습니다. 식에서는 x=0을 넣어 5가 나오고, 그래프에서는 왼쪽 점의 높이를 대략 읽어 1이라고 판단한 흔적이 보였습니다. 즉, 두 표현에서 공통으로 확인해야 할 대상인 같은 x값에 대응하는 좌표와 식의 계산 결과를 찾기 전에 그래프의 모양만 보고 값을 정한 것입니다.

그래프의 인상보다 같은 좌표를 먼저 맞추기

여기서 가장 먼저 어긋난 판단은 그래프가 위로 열린 모양이라는 사실만으로 x=0의 y값을 단정한 일이었습니다. 그래프의 모양은 식의 변화를 짐작하게 하지만, 특정 좌표의 값을 확정하려면 같은 x값을 식과 그래프에서 직접 대응해야 합니다.

교정은 한 가지 행동으로 제한했습니다. 학생에게 그래프를 다시 그리게 하지 않고, 표의 x값을 식에 차례로 표시하게 했습니다.

• x=0일 때 y=(0-2)²+1=5
• x=1일 때 y=(1-2)²+1=2
• x=2일 때 y=(2-2)²+1=1
• x=3일 때 y=(3-2)²+1=2

그 다음 그래프에서 좌표를 확인할 때도 “왼쪽 점의 높이”라고 읽지 않고, (0, 5), (1, 2), (2, 1), (3, 2)처럼 좌표 쌍으로 표시했습니다. 그래프의 가장 낮은 점이 (2, 1)이라는 사실과 x=0에서의 점이 (0, 5)라는 사실을 분리하자, 처음 계산한 5를 그대로 유지할 수 있었습니다. 식과 표와 그래프가 서로 다른 답을 말하는 것이 아니라, 같은 대응 관계를 다른 방식으로 보여 준다는 점도 확인했습니다.

제시 방식이 바뀐 새 장면

며칠 뒤에는 식을 먼저 주지 않고 표와 그래프의 일부만 제시했습니다.

표의 일부는 다음과 같았습니다.

• x=-2일 때 y=4
• x=-1일 때 y=1
• x=0일 때 y=0
• x=1일 때 y=1

그래프에는 위 네 점이 표시되어 있었지만, 점의 좌표 이름은 적혀 있지 않았습니다. 질문은 “표에서 x=1인 점의 위치를 그래프에서 찾아 좌표로 쓰고, 그 점의 y값을 식에 대입해 확인하라”였습니다. 이번에는 이전 문제처럼 식을 계산한 뒤 그래프를 보는 순서가 아니었습니다. 먼저 표에서 x=1과 y=1을 묶어 (1, 1)을 만들고, 그래프에서 x축의 1과 y축의 1이 만나는 점을 찾았습니다.

그래프에서 그 점을 찾은 뒤에는 제공된 식 y=x²에 x=1을 대입했습니다.

1²=1

따라서 표의 값, 그래프의 좌표, 식의 계산 결과가 모두 일치한다고 설명했습니다. 이번에는 모양이나 점의 높이를 막연히 읽지 않고, 질문에 나온 x값을 먼저 고른 뒤 대응하는 y값을 확인했습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

마지막에는 새로운 배열로 다음 문제를 제시했습니다.

함수 y=(x+1)²-2의 표에서 x=-2, -1, 0에 해당하는 값을 구하고, 그래프에 표시된 점 중 하나를 골라 식과 표가 맞는지 설명하시오.

학생은 먼저 표의 x값을 세로로 적고, 각각을 식에 대입했습니다.

• x=-2: y=(-2+1)²-2=1-2=-1
• x=-1: y=(-1+1)²-2=0-2=-2
• x=0: y=(0+1)²-2=1-2=-1

그래프에서 x=-1에 해당하는 점을 찾아 좌표를 (-1, -2)라고 쓴 뒤, “표에서 x=-1일 때 y=-2이고, 식에 x=-1을 넣어도 -2가 나오므로 이 점은 식과 표에 모두 대응한다”고 설명했습니다. 마지막으로 다시 대입한 계산까지 근거로 제시했으므로, 처음 보는 식과 표와 그래프의 배치에서도 같은 기준을 스스로 적용한 것입니다.