거두지구 중2수학과외
두 점의 좌표가 식과 그래프로 바뀌는 순간
거두지구과외 수업에서 학생은 두 점의 좌표로 기울기를 구하는 문제를 풀고 있었다. 문제에는 좌표평면 위의 점 A(1, 2), B(4, 8)가 표시되어 있었고, 이어서 이 두 점을 지나는 일차함수의 식을 구하라는 질문이 붙어 있었다. 거두지구중2수학과외에서 자주 다루는 유형처럼 좌표, 그래프, 식을 서로 연결해야 하는 문제였다. 대룡중학교와 남춘천중학교가 포함된 생활권, e-편한세상아파트와 롯데캐슬아파트가 있는 주변에서도 이런 표현 전환 문제를 만날 때 학생들은 계산보다 관계를 먼저 읽어야 한다.
학생은 그래프에서 A와 B를 손가락으로 짚은 뒤, x좌표가 1에서 4로 3만큼 늘고 y좌표가 2에서 8로 6만큼 늘었다고 적었다. 여기까지는 정확했다. 그런데 기울기를 계산하는 줄에서 3÷6을 썼다. 그래프에서 가로 변화량과 세로 변화량을 따로 표시했지만, 기울기를 ‘가로로 얼마나 갈 때 세로로 얼마나 변하는가’가 아니라 두 변화량 중 작은 수를 큰 수로 나누는 방식으로 선택한 것이다. 그 결과 기울기를 1/2로 적고, 식을 y=1/2x+3/2라고 세웠다.
결과보다 먼저 고쳐야 할 한 줄
교사는 식을 다시 세우기 전에 학생이 처음 선택한 나눗셈만 확인했다. 기울기는 두 점 사이의 높이 차를 가로 차로 나누므로, 순서는 y의 변화량 ÷ x의 변화량이어야 한다. 따라서 이 문제에서는
m=(8-2)/(4-1)=6/3=2
가 된다. 학생은 기존에 표시한 3과 6을 지우지 않고, 3 아래에 ‘x 변화’, 6 아래에 ‘y 변화’라고 다시 써서 분수의 위아래를 역할로 연결했다. 이미 구한 변화량은 그대로 두고 나눗셈의 기준만 바로잡았다. 이후 점 A를 y=2x+b에 대입해 2=2+b, b=0을 얻었으며, 식은 y=2x가 되었다.
학생은 계산 결과만 받아 적지 않고 두 점을 식에 넣어 확인했다. A를 대입하면 2=2×1, B를 대입하면 8=2×4가 되어 두 좌표가 모두 식 위에 놓인다. 또 x가 1에서 4로 3 증가할 때 y가 2에서 8로 6 증가하므로, 6÷3=2라는 기울기가 식의 계수와도 일치한다고 말로 설명했다.
표와 문장으로 바꾼 같은 관계
다음 문제에서는 그래프가 주어지지 않았다. 표에 x값 0, 2, 5와 y값 -1, 3, 9가 대응되어 있고, “x가 2에서 5로 변할 때 함수값의 변화율을 구한 뒤, 이 표를 나타내는 직선의 식을 설명하라”고 했다. 학생은 먼저 표의 두 행을 세로로 읽지 않고, x가 2에서 5로 변한 것을 3, y가 3에서 9로 변한 것을 6으로 표시했다. 그런 다음 6÷3=2를 적었다.
이번에는 질문의 방향도 달랐다. 기울기를 바로 묻는 대신 ‘x가 1만큼 증가할 때 y는 얼마나 변하는가’를 물었다. 학생은 2라고 답하고, 표의 첫 번째 점 (0, -1)을 이용해 y=2x-1이라고 정리했다. 숫자를 외워서 앞 문제를 반복한 것이 아니라, 표에서 변화량을 읽고 식의 기울기와 절편으로 옮긴 것이다. 문장으로 “택시의 이동 거리를 x, 요금을 y라 할 때 x가 1 증가할 때 y가 2씩 증가하고, 출발값은 -1이다”라는 설명이 추가되어도 같은 판단을 유지했다.
힌트 없이 이루어진 재현
수업 끝에 학생은 새로운 좌표 문제를 받았다. 점 P(-2, 5), Q(3, -5)를 지나는 직선의 기울기와 식을 구하는 문제였다. 학생은 먼저 두 점의 순서를 정한 뒤, “y 변화량을 위에, x 변화량을 아래에 둔다”고 스스로 말하며
m=(-5-5)/(3-(-2))=-10/5=-2
를 적었다. 이어 y=-2x+b에 P의 좌표를 대입해 5=4+b, b=1을 얻었다. 마지막으로 P를 넣어 5=5, Q를 넣어 -5=-5인지 각각 확인했다. 또한 x가 -2에서 3으로 5 증가할 때 y가 5에서 -5로 10 감소하므로 기울기가 음수이고, 계산한 -2와 변화량의 비가 일치한다고 설명했다.
그래프, 표, 문장, 식의 모양이 달라져도 학생은 먼저 x 변화량과 y 변화량을 구분하고, y 변화량을 x 변화량으로 나눈 뒤 두 점을 식에 대입해 확인했다. 처음의 오류였던 분수의 방향을 새로운 표현에서도 스스로 점검했다는 점이 이 풀이에서 확인되었다.