거두지구 중2수학과외

두 점의 좌표가 식과 그래프로 바뀌는 순간

문제에는 좌표평면 위의 점 A(1, 2), B(4, 8)가 표시되어 있었고, 이어서 이 두 점을 지나는 일차함수의 식을 구하라는 질문이 붙어 있었다.

학생은 그래프에서 A와 B를 손가락으로 짚은 뒤, x좌표가 1에서 4로 3만큼 늘고 y좌표가 2에서 8로 6만큼 늘었다고 적었다. 여기까지는 정확했다. 그런데 기울기를 계산하는 줄에서 3÷6을 썼다. 그래프에서 가로 변화량과 세로 변화량을 따로 표시했지만, 기울기를 ‘가로로 얼마나 갈 때 세로로 얼마나 변하는가’가 아니라 두 변화량 중 작은 수를 큰 수로 나누는 방식으로 선택한 것이다. 그 결과 기울기를 1/2로 적고, 식을 y=1/2x+3/2라고 세웠다.

결과보다 먼저 고쳐야 할 한 줄

교사는 식을 다시 세우기 전에 학생이 처음 선택한 나눗셈만 확인했다. 기울기는 두 점 사이의 높이 차를 가로 차로 나누므로, 순서는 y의 변화량 ÷ x의 변화량이어야 한다. 따라서 이 문제에서는

m=(8-2)/(4-1)=6/3=2

가 된다. 학생은 기존에 표시한 3과 6을 지우지 않고, 3 아래에 ‘x 변화’, 6 아래에 ‘y 변화’라고 다시 써서 분수의 위아래를 역할로 연결했다. 이미 구한 변화량은 그대로 두고 나눗셈의 기준만 바로잡았다. 이후 점 A를 y=2x+b에 대입해 2=2+b, b=0을 얻었으며, 식은 y=2x가 되었다.

학생은 계산 결과만 받아 적지 않고 두 점을 식에 넣어 확인했다. A를 대입하면 2=2×1, B를 대입하면 8=2×4가 되어 두 좌표가 모두 식 위에 놓인다. 또 x가 1에서 4로 3 증가할 때 y가 2에서 8로 6 증가하므로, 6÷3=2라는 기울기가 식의 계수와도 일치한다고 말로 설명했다.

표와 문장으로 바꾼 같은 관계

다음 문제에서는 그래프가 주어지지 않았다. 표에 x값 0, 2, 5와 y값 -1, 3, 9가 대응되어 있고, “x가 2에서 5로 변할 때 함수값의 변화율을 구한 뒤, 이 표를 나타내는 직선의 식을 설명하라”고 했다. 학생은 먼저 표의 두 행을 세로로 읽지 않고, x가 2에서 5로 변한 것을 3, y가 3에서 9로 변한 것을 6으로 표시했다. 그런 다음 6÷3=2를 적었다.

이번에는 질문의 방향도 달랐다. 기울기를 바로 묻는 대신 ‘x가 1만큼 증가할 때 y는 얼마나 변하는가’를 물었다. 학생은 2라고 답하고, 표의 첫 번째 점 (0, -1)을 이용해 y=2x-1이라고 정리했다. 숫자를 외워서 앞 문제를 반복한 것이 아니라, 표에서 변화량을 읽고 식의 기울기와 절편으로 옮긴 것이다. 문장으로 “택시의 이동 거리를 x, 요금을 y라 할 때 x가 1 증가할 때 y가 2씩 증가하고, 출발값은 -1이다”라는 설명이 추가되어도 같은 판단을 유지했다.

힌트 없이 이루어진 재현

수업 끝에 학생은 새로운 좌표 문제를 받았다. 점 P(-2, 5), Q(3, -5)를 지나는 직선의 기울기와 식을 구하는 문제였다. 학생은 먼저 두 점의 순서를 정한 뒤, “y 변화량을 위에, x 변화량을 아래에 둔다”고 스스로 말하며

m=(-5-5)/(3-(-2))=-10/5=-2

를 적었다. 이어 y=-2x+b에 P의 좌표를 대입해 5=4+b, b=1을 얻었다. 마지막으로 P를 넣어 5=5, Q를 넣어 -5=-5인지 각각 확인했다. 또한 x가 -2에서 3으로 5 증가할 때 y가 5에서 -5로 10 감소하므로 기울기가 음수이고, 계산한 -2와 변화량의 비가 일치한다고 설명했다.

그래프, 표, 문장, 식의 모양이 달라져도 학생은 먼저 x 변화량과 y 변화량을 구분하고, y 변화량을 x 변화량으로 나눈 뒤 두 점을 식에 대입해 확인했다. 처음의 오류였던 분수의 방향을 새로운 표현에서도 스스로 점검했다는 점이 이 풀이에서 확인되었다.