거두지구 중1수학과외
거두지구 중1수학과외에서 확인한 정비례 표현의 연결
거두지구의 e-편한세상아파트와 석사4거리 사이 생활권에는 대룡중학교와 남춘천중학교가 포함되어 있다. 이 생활권에서 진행한 거두지구과외 수업에서는 정비례 관계를 표, 식, 그래프, 문장으로 서로 바꾸어 읽는 과정을 한 학생의 풀이 기록으로 이어서 살펴보았다.
그래프를 보기 전에 놓친 대응 관계
문제에는 물의 양과 그에 따른 물의 가격이 표로 제시되어 있었다.
- 물 1L → 800원
- 물 2L → 1600원
- 물 3L → 2400원
학생은 칠판의 풀이 일부가 가려진 상태에서 표를 보고 곧바로 “가격은 물의 양에 800을 더한 값”이라고 적었다. 그래서 식을 y=x+800으로 만들고, 그래프도 (0, 800)에서 시작하는 선으로 그리려 했다. 계산 결과가 표의 세 값과 맞지 않기 시작한 것이 문제가 아니라, 표에서 두 양의 대응 방식을 먼저 확인하지 않고 이전에 보았던 그래프 모양을 그대로 옮긴 판단이 출발점이었다.
학생이 적은 식에 표의 첫 대응값을 넣어 보자 800=1+800이 되어 성립하지 않았다. 이때 풀이 전체를 지우지 않고, 잘못된 한 부분인 ‘더하기’ 판단만 다시 살폈다.
두 양의 관계를 식으로 다시 세우기
물의 양을 x, 가격을 y로 정한 뒤 각 행에서 y를 x로 나누었다.
- 800÷1=800
- 1600÷2=800
- 2400÷3=800
나눈 값이 모두 같으므로 가격은 물의 양에 일정한 수를 곱한 관계라고 정리했다. 따라서 식은 y=800x이다. 정비례 관계에서는 x가 0일 때 y도 0이므로 그래프는 반드시 원점을 지난다. 학생은 좌표평면에 (0,0), (1,800), (2,1600), (3,2400)을 표시하고 점들을 곧은 선으로 연결했다. 처음 그리려던 (0,800)을 지우고 원점에서 출발하도록 고친 이유도 말로 설명했다.
“가격에 800을 더하는 것이 아니라, 물의 양이 늘어난 만큼 같은 비율로 800을 곱한다. 그래서 양이 0이면 가격도 0이고 그래프는 원점을 지난다.”
이후 학생은 표의 대응값을 식에 넣어 각각 800=800×1, 1600=800×2, 2400=800×3으로 확인했다. 단순히 그래프를 완성한 것이 아니라 표에서 식을 만들고, 식이 다시 표의 값을 설명하는지 점검한 것이다.
표가 사라져도 같은 개념을 읽는 연습
다음 문제에서는 표 대신 “한 개에 500원인 공책을 x권 사고, 전체 금액을 y원이라 하자”라는 문장이 주어졌다. 질문도 달라져 “y를 x에 대한 식으로 나타내고 그래프의 출발점을 설명하라”는 형식이었다. 학생은 문장에서 한 권당 가격이 일정하다는 조건을 먼저 표시하고, 공책 수를 x, 전체 금액을 y로 정했다. 이어 y=500x를 세운 뒤, x=0이면 y=0이라고 적어 원점을 지나는 그래프임을 판단했다.
이번에는 숫자만 바꾼 표를 다시 푼 것이 아니다. 문장을 식으로 바꾸고, 식에서 그래프의 특징을 읽어 내는 방향으로 표현을 전환했다. 학생은 “공책을 0권 사는 경우도 관계를 판단하는 데 필요하므로 원점을 확인해야 한다”고 덧붙였다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
수업 끝에는 풀이를 가린 새 문제를 제시했다. “사과의 개수를 x, 가격을 y라 할 때 사과 1개는 1200원이다. x와 y의 관계를 표와 그래프로 나타내라”는 문제였다. 학생은 먼저 두 양의 이름과 조건을 적고, 0개·1개·2개에 대응하는 가격을 0원·1200원·2400원으로 표에 기록했다.
그 뒤 y=1200x를 만들고, 표의 대응값을 식에 대입해 모두 성립하는지 확인했다. 좌표 (0,0), (1,1200), (2,2400)을 차례로 표시한 후 원점을 지나는 직선을 그렸다. 마지막으로 “가격을 일정하게 더하는 관계가 아니라 개수에 같은 수를 곱하는 관계이므로 정비례이고, 0개일 때 가격도 0이어서 원점을 지난다”고 설명했다.
거두지구중1수학과외에서 확인한 핵심은 표현이 바뀌어도 먼저 조건과 두 양의 대응을 세우는 일이었다. 학생은 표에서 시작한 풀이를 문장과 식, 그래프로 스스로 옮긴 뒤 원래 조건과 대응값을 다시 대조하며 같은 정비례 개념을 재현했다.