완산구 고2수학과외

로그를 합친 뒤 생긴 가짜 해

학생의 풀이 기록은 다음과 같았다.

log₂(x-1)+log₂(x+1)>1
log₂{(x-1)(x+1)}>1
x²-1>2
x²>3
x<-√3 또는 x>√3

계산만 보면 자연스럽지만, 마지막 해에는 원래 식에 대입할 수 없는 구간이 포함되어 있다.

하나로 합치기 전 확인할 조건

로그의 진수는 각각 양수여야 하므로

x-1>0,　x+1>0

따라서 원래 정의역은 x>1이다. 이 조건을 유지하면

log₂(x-1)+log₂(x+1)=log₂((x-1)(x+1))

이고, 밑이 1보다 큰 2이므로

(x-1)(x+1)>2

x²>3

을 얻는다. 여기에 원래 정의역 x>1을 함께 적용해야 한다.

교정된 해와 잘못된 해의 비교

구분	결과	문제점
정의역을 보존한 풀이	x>√3	원래 두 로그가 모두 정의됨
곱의 진수 조건만 사용한 풀이	x<-√3 또는 x>√3	x<-√3에서는 log₂(x-1)이 정의되지 않음

최종 검증

x=−2를 잘못 얻은 구간의 예로 대입하면 log₂(−3)이 나타나므로 실수 범위에서 원래 식은 정의되지 않는다. 따라서 최종 해는

x∈(√3, ∞)

이다. 로그 성질로 식을 통합할 때는 곱해진 진수의 조건이 아니라, 통합 전 각각의 진수 조건을 먼저 보존해야 한다. 완산구과외에서 로그부등식을 다룰 때도 이 정의역 확인을 계산보다 먼저 점검하면 가짜 구간을 효과적으로 걸러낼 수 있다.

완산구 고2수학과외 학부모 후기

새 풀이 노트를 마련한 날, 아이가 틀린 문제들을 유형별로 옮겨 적을 줄 알았는데 그러지 않더라고요. 시험지를 그대로 펼쳐 놓고 각 문제 옆에 틀린 이유만 짧게 적고 있었습니다. 답을 다시 베껴 쓰기보다 어디서 잘못됐는지 남겨 둔 모습이 눈에 띄었어요. 예예전에는 틀린 원인보다 정답을 기억하는 데 더 신경 쓰곤 했거든요. 완산구 수학과외 이야기를 나누며 집에서 공부하는 모습을 지켜보던 중이라 이런 차이가 더 잘 보였어요. 교과서를 다시 확인하던 때에도 새 노트로 옮기지 않고 원래 시험지의 해당 문제에 이유를 덧붙였습니다. 필요한 부분만 적어 둔 뒤에는 그 한 장면을 정리하고 공부를 마쳤어요.

★★★★☆학부모 후기

주말 오전에 책상을 정리하다가 아이가 공부를 끝낸 뒤에도 답지를 펼치지 않고 있는 걸 보게 됐어요. 이미 적어 둔 계산을 한 줄씩 거꾸로 따라가며 어디서 달라졌는지 살펴보더라고요. 예예전에는 맞았는지 틀렸는지만 확인하고 자료를 다시 꺼내 보는 일이 거의 없었거든요. 완산구 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 꽤 인상적으로 남았어요. 그날 다른 문제를 풀 때는 해설부터 찾지 않고 자기 계산부터 차례로 확인했어요. 전에는 결과만 보고 지나갔을 텐데, 이번에는 다시 볼 부분만 따로 남겨 두고 마무리했습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 직전 주말이면 조급해서 새 문제만 계속 풀었는데, 완산구 수학 과외를 받으며 선생님과 정한 복습 계획을 먼저 지키게 됐습니다. 학교에서 돌아와 가방을 내려놓으면 틀린 문제부터 다시 펼쳐 보고, 막히는 부분은 질문하기 편한 분위기에서 천천히 짚어 주셔서 공부 흐름도 한결 차분해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 전 마지막 주말, 완산구에서 수업하는 모습을 옆에서 지켜보니 예전처럼 책상 앞을 힘들어하지 않고 틀린 문제도 다시 펼쳐 보더군요. 선생님은 사소한 질문도 왜 궁금했는지부터 차분히 들어주시고, 아이가 스스로 이어서 생각할 시간을 남겨 주셨습니다. 숙제가 많을 때 먼저 말할 수 있게 된 점도 부모로서 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기

방학 계획을 세우며 완산구 수학과외를 시작했는데, 아이는 원래 기분 내키는 대로 공부하고 틀린 문제도 표시만 해두곤 했습니다. 선생님은 수업 전 지난 내용을 부담 없이 물어보고, 진도와 숙제를 아이의 속도에 맞춰 관리해 주셨습니다. 옆에서 지켜보니 이제는 시간에 쫓기지 않고 천천히 다시 풀며, 시험 결과보다 공부 과정을 돌아보려는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★★학부모 후기