완산구 고3수학과외

정답에서 거꾸로 찾은 표본공간의 첫 갈림길

완산구 생활권에서 수능 확률 문항을 풀던 학생은 제한 시간을 절반으로 줄인 세트를 받았다. 문제의 조건을 빠르게 훑은 뒤 곧바로 “사건이 무엇인지”부터 표시했다. 그러나 정답 풀이와 비교하자 계산은 맞는데 확률값만 달랐다. 틀린 줄은 마지막 분수가 아니라, 그보다 앞선 표본공간 선택이었다.

문제는 1부터 12까지의 정수 중 하나를 임의로 고르는 상황이었다. 사건 A를 ‘3의 배수’, 사건 B를 ‘짝수’라고 할 때, 구하는 값은 \(P(A\mid B)\)였다. 학생은 A를 먼저 읽고 전체 표본공간을 12개로 둔 뒤, A와 B가 동시에 일어나는 수가 2개이므로 \(2/12\)라고 적었다. 교사는 계산 과정을 지우지 않고 정답에서 역으로 올라가며 첫 판단이 바뀐 곳에 선을 그었다.

분수보다 먼저 고쳐야 할 한 줄

조건부확률에서 \(B\)는 단순히 함께 적힌 사건이 아니라 새로운 표본공간을 만드는 조건이다. 따라서 B가 일어나는 경우만 남겨야 한다. 짝수의 집합은 \(\{2,4,6,8,10,12\}\)이고, 그 안에서 A도 만족하는 수는 \(\{6,12\}\) 두 개다. 그러므로

\(P(A\mid B)=\frac{2}{6}=\frac13\)

학생의 최초 오류는 교집합을 잘못 세는 일이 아니었다. 조건 B를 확인하기 전에 전체 12개를 분모로 고정한 행동이었다. 이 지점을 표본공간의 확률조건 오류로 분류하자, 뒤의 곱셈이나 약분을 다시 고칠 필요가 없다는 것도 드러났다. 완산구과외 수업에서 이처럼 정답보다 먼저 첫 분모가 어디서 나왔는지 표시하게 한 이유도 여기에 있다.

조건을 분모 옆에 남기는 습관

교정은 한 가지 표시로 제한했다. 학생은 조건부 기호 오른쪽의 B를 동그라미 치고, 분모 옆에 ‘B만 남김’이라고 적었다. 이어 A와 B의 원소를 각각 짧게 나열한 뒤 교집합을 확인했다. 사건 A를 먼저 읽는 습관 자체를 없애려 하지 않고, 분모를 정하기 전에 조건사건을 표본공간으로 옮기는 절차만 삽입한 것이다.

곧바로 같은 숫자를 바꾼 문제를 주지 않고 표현을 바꾸었다. 이번에는 1부터 15까지의 정수에서 하나를 고르고, ‘선택된 수가 5의 배수라는 조건에서 홀수일 확률’을 물었다. 조건을 만족하는 표본공간은 \(\{5,10,15\}\), 그중 홀수는 \(\{5,15\}\)이므로 답은 \(2/3\)이다. 학생은 문제의 앞부분에 나온 ‘홀수’에 끌려 전체 15개를 쓰려다가, 스스로 5의 배수를 분모 옆에 먼저 적었다.

정수조건이 추가된 변형에서는 \(1\le x\le 14\)인 정수 중 \(x\)가 짝수라는 조건에서 \(x\ge 6\)일 확률을 물었다. 학생은 짝수 표본공간 \(\{2,4,6,8,10,12,14\}\)을 만든 뒤, 경계의 바로 왼쪽인 4와 바로 오른쪽인 6을 각각 대입했다. \(x\ge6\)에는 6이 포함되므로 유리한 경우는 5개, 전체는 7개여서 \(5/7\)임을 확인했다. 조건의 경계를 대충 읽지 않고 실제 후보에 대입한 점이 앞선 수정과 연결되었다.

힌트 없는 문제에서 남은 행동

다음 날에는 유형명과 그래프 일부를 가린 문제를 제시했다. 세로축이 확률을 나타내는 간단한 막대그래프와 정수 후보표만 남겨 둔 자료였다. 학생은 먼저 “어떤 사건의 확률인가”를 말하지 않고, 문제 문장에서 ‘~라는 조건에서’를 찾아 조건사건을 표시했다. 그 후보만 남겨 표본공간을 다시 만든 뒤, 사건의 교집합을 세었다.

마지막 검산에서도 전체를 처음부터 재계산하지 않았다. 분모가 조건사건의 개수인지, 경계값이 후보에 포함되는지만 확인하고 그래프의 막대 높이와 계산 결과를 대조했다. 그래프가 가리키는 조건부 표본공간과 식의 분모가 일치했기 때문에 결론을 유지할 수 있었다. 상산고등학교와 전주고등학교가 포함된 생활권에서 활용하는 완산구고3수학과외 자료에서도 이 판단을 유형명 없이 재현하는지를 기준으로 확인할 수 있다.