완산구 중2수학과외

완산구 중2수학과외에서 되짚은 대입식의 첫 오류

완산구의 삼천개나리아파트와 삼천광진목화아파트가 있는 생활권, 전주서신중학교와 전주기전중학교가 포함된 지역에서 진행한 수업에서 학생은 연립일차방정식의 대입법을 풀고 있었다. 두 식 중 하나를 문자에 관한 식으로 정리한 뒤 다른 식에 넣는 과정은 알고 있었지만, 대입 후 일차방정식을 정리하는 한 줄에서 풀이가 흔들렸다.

“답부터 고치지 말고, 네가 맞다고 생각한 마지막 줄에서 한 줄씩 거꾸로 돌아가 보자.”

완성된 풀이를 뒤에서부터 읽다

문제는 다음과 같았다.

y=2x-3,　3x+y=12

학생은 첫 식을 두 번째 식에 대입해 다음처럼 적었다.

3x+(2x-3)=12

5x-3=12

5x=15

x=3

y=3

겉으로는 계산이 매끄러워 보였지만, 마지막 값을 원래 두 식에 넣자 첫 식에서는 3=3이었고 두 번째 식에서는 12가 나와 답이 맞지 않았다. 학생은 마지막 계산인 15를 잘못 옮겼다고 생각해 그 줄에 동그라미를 쳤다.

교사는 마지막 줄을 지우지 않고, 바로 위 줄의 양변에 어떤 변화가 있었는지 말하게 했다. 학생은 5x-3=12에서 양변에 3을 더해 5x=15가 된 것은 맞다고 확인했다. 다시 한 줄 위로 올라가자 3x+(2x-3)=12를 5x-3=12로 바꾼 판단이 문제의 출발점이었다.

문자항과 괄호 안의 항을 분리해 읽기

학생은 3x와 2x를 합치는 동시에 괄호 안의 -3까지 5x에 포함된 것처럼 처리했다. 실제로는 문자항끼리만 계산하고, 상수항 -3은 그대로 남겨야 했다.

3x+(2x-3)=12

3x+2x-3=12

5x-3=12

이때 교정은 풀이 전체를 다시 외우는 것이 아니라, 대입 직후 괄호를 먼저 풀어 쓴 뒤 문자항과 숫자항을 따로 확인하는 한 가지였다. 학생은 3x와 2x 아래에는 같은 표시를, -3 아래에는 숫자항 표시를 했다. 이미 맞았던 양변 이동과 나눗셈 과정은 그대로 유지했다.

따라서 5x-3=12에서 5x=15, x=3이 되고, y=2×3-3=3이다. 그런데 원래 두 번째 식에 넣으면 3×3+3=12이므로 두 식을 모두 만족한다. 앞서 계산한 검산에서 3×3+3을 12가 아닌 다른 값으로 읽었던 부분도 함께 바로잡았다.

식이 가려진 문제에서 같은 판단을 세우다

다음 문제는 중간 풀이가 가려진 형태였다.

2x-y=7,　y=x+1

학생은 y=x+1을 첫 식에 넣은 결과만 보고, 중간 줄 없이 풀이 시작 위치를 찾아야 했다. 학생은 “y를 x+1로 바꾸면 2x-(x+1)=7이 된다”고 먼저 말했다. 이어 괄호 앞에 마이너스가 있으므로 괄호 안의 두 항 부호가 모두 바뀐다고 표시했다.

2x-(x+1)=7

2x-x-1=7

x-1=7

x=8

y=9

이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 대입된 식 앞에 뺄셈 기호가 놓인 상황이었다. 학생은 x항을 합친 뒤 -1을 따로 남겼고, x=8을 두 원래 식에 각각 대입했다. 2×8-9=7, 9=8+1이므로 두 식이 모두 성립한다고 설명했다.

힌트 없이 처음 한 줄을 선택한 검증

수업의 끝에는 다음 문제를 풀이 과정 없이 제시했다.

x= y+2,　2x+y=13

학생은 “x를 y+2로 나타냈으므로 두 번째 식의 x 자리에 괄호를 포함해 넣겠다”고 스스로 결정했다.

2(y+2)+y=13

2y+4+y=13

3y+4=13

3y=9

y=3,　x=5

학생은 첫 판단의 이유를 “문자 x가 이미 y에 대한 식으로 주어져 있어 대입하면 미지수가 하나만 남기 때문”이라고 말했다. 또 2(3+2)+3=13으로 정리식의 검산을 하고, x=5를 x=y+2와 2x+y=13에 각각 넣어 5=3+2, 10+3=13을 확인했다.

이처럼 대입 뒤 괄호를 복원하고, 문자항과 숫자항을 구분하며, 두 원래 식으로 검산하는 판단을 도움 없이 다시 세웠다. 완산구중2수학과외 수업에서도 이런 식으로 오답의 마지막 결과보다 앞선 한 줄을 찾아 확인하면, 대입법의 계산 흐름을 정확히 점검할 수 있다.