인천중구 중등수학과외

인천중구중등수학과외, 90·135의 묶음 수와 신호 주기 270초를 구분해 확인하기

90개와 135개를 남김없이 같은 구성으로 나누어 최대한 많은 묶음을 만드는 문제에서는 45묶음이 답입니다. 반면 두 신호가 90초, 135초마다 반복될 때 동시에 시작한 뒤 처음 다시 겹치는 시각은 270초입니다. 두 문제 모두 90과 135가 나오지만, 앞문제는 가능한 묶음 수를 가장 크게 하는 조건이고 뒷문제는 두 반복이 함께 일어나는 가장 이른 시각을 찾는 조건입니다. 인천중구중등수학과외 수업에서는 숫자를 보고 곧바로 같은 계산을 선택하기보다, 무엇을 구하라는지와 그 답이 만족해야 할 조건을 먼저 읽는 연습이 중요합니다.

최대한 많은 묶음은 두 수를 모두 나누는 수에서 찾습니다

기본 문제의 핵심 문장은 ‘남김없이 같은 구성으로’, 그리고 ‘최대한 많은 묶음으로’입니다. 묶음 수를 n개라고 하면 90÷n과 135÷n이 모두 자연수여야 합니다. 즉 n은 90과 135를 모두 나누어떨어지게 하는 공약수여야 합니다. 가장 큰 공약수를 찾기 위해 90=2×3²×5, 135=3³×5로 나타내면 공통으로 들어 있는 인수는 3²×5입니다. 따라서 최대공약수는 45입니다.

45묶음으로 나누면 한 묶음에는 첫째 물건이 90÷45=2개, 둘째 물건이 135÷45=3개씩 들어갑니다. 45×2=90, 45×3=135이므로 어느 쪽도 남지 않는지 곱으로 되돌려 확인할 수 있습니다. 여기서 45는 한 묶음 안의 물건 수가 아니라 전체 묶음의 수입니다. ‘각각 몇 개씩 들어가는가’와 ‘몇 묶음이 만들어지는가’를 따로 적어 두면 2와 3, 45의 역할이 섞이지 않습니다.

반복 신호는 공통으로 만나는 가장 이른 배수에서 찾습니다

비교 문제에서는 ‘묶음’이라는 조건이 사라지고, 두 신호가 일정한 시간마다 반복된다는 조건이 새로 주어집니다. 동시에 시작했으므로 다시 겹치는 시각은 90의 배수이면서 135의 배수여야 합니다. 90초 신호의 시각은 90, 180, 270, …이고, 135초 신호의 시각은 135, 270, …입니다. 두 목록에서 처음 공통으로 나타나는 수는 270이므로 답은 270초입니다.

소인수분해로도 90=2×3²×5, 135=3³×5이므로 각 소인수에 대해 두 수에서 더 큰 지수를 선택해 얻은 2×3³×5=270으로 확인할 수 있습니다. 이는 최소공배수입니다. 270÷90=3, 270÷135=2이므로 270초는 첫 신호가 세 번, 둘째 신호가 두 번 반복된 뒤의 시각입니다. 따라서 두 주기의 배수라는 조건을 실제 나눗셈으로도 만족합니다. 숫자가 같아도 ‘모두 나누어야 하는가’와 ‘둘 다의 배수여야 하는가’에 따라 최대공약수와 최소공배수의 선택은 달라집니다.

바뀐 문장을 표시하고, 첫 식을 스스로 선택하는지 봅니다

풀이를 고칠 때에는 두 문제를 나란히 놓고 기본 문제에는 ‘남김없이’와 ‘최대한 많은 묶음’을, 비교 문제에는 ‘90초마다’, ‘135초마다’, ‘처음 다시 겹치는 때’를 표시합니다. 그 아래에 기본 문제는 ‘묶음 수가 90과 135를 모두 나눈다’, 비교 문제는 ‘시각이 90과 135의 공통 배수다’라고 짧게 적습니다. 이렇게 하면 문제에 없는 조건을 덧붙여 같은 방식으로 풀려는 흐름을 멈추고, 필요한 관계부터 선택할 수 있습니다.

다음 확인에서는 정답만 말하는지보다 비교 문제의 첫 단계를 스스로 정하는지를 봅니다. “기본 문제와 비교 문제에서 달라진 조건은 무엇인가요?”, “신호가 다시 겹치는 시각은 두 주기의 배수인가요?”라는 질문에 묶음 수와 반복 시각의 차이를 근거와 함께 설명하고, 90과 135의 배수 목록 또는 최소공배수 식을 직접 쓸 수 있는지 확인합니다. 270초라고 답해도 그 수가 90과 135로 각각 나누어떨어지는지 대입해 보게 하면, 새 조건을 읽고 적용한 것인지 더 분명하게 살필 수 있습니다.