인천중구 고2수학과외







잘못 만든 분포표에서 시작한 확률변수 변환
인천중구과외 수업에서 다음과 같은 오류가 발견되었다. 확률변수 \(X\)의 값에 \(Y=2X+1\)을 적용하면서, 학생은 확률도 함께 \(2p+1\)로 바꾸었다.
| X | P(X=x) | 학생이 적은 Y | 학생이 적은 확률 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.2 | 1 | 1.4 |
| 1 | 0.5 | 3 | 2.0 |
| 2 | 0.3 | 5 | 1.6 |
새 확률의 합이 \(1.4+2.0+1.6=5\)가 되어 확률분포가 될 수 없다는 점에서 오류를 바로 확인할 수 있다.
값과 확률은 서로 다른 역할을 한다
확률변수 변환 \(Y=2X+1\)은 \(X\)가 가질 수 있는 값을 바꾸는 규칙이다. \(X=x\)일 때 \(Y=2x+1\)이 되지만, 그 사건 자체는 변하지 않는다.
| X의 값 | P(X=x) | Y=2X+1 | P(Y=y) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.2 | 1 | 0.2 |
| 1 | 0.5 | 3 | 0.5 |
| 2 | 0.3 | 5 | 0.3 |
따라서 \(P(Y=1)=0.2\), \(P(Y=3)=0.5\), \(P(Y=5)=0.3\)이다. 값의 위치는 달라졌지만 각 값에 대응하는 확률은 그대로 유지된다.
역문제로 확인하는 방법
Y의 분포에서 X를 되찾기
이번에는 \(Y=5\)일 때를 거꾸로 생각한다.
\[ Y=2X+1=5 \quad\Rightarrow\quad X=2 \]
그러므로
\[ P(Y=5)=P(X=2)=0.3 \]
잘못된 방식처럼 \(2\times0.3+1=1.6\)으로 계산하면 확률이 1보다 커진다. 이는 변환식이 확률에 적용되는 것이 아니라 확률변수의 값에 적용된다는 사실과 맞지 않는다.
최종 검증
새 분포표의 확률 합은
\[ 0.2+0.5+0.3=1 \]
이고, \(Y\)의 모든 값은 \(1,3,5\)로 정확히 \(2X+1\)에 대응한다. 따라서 선형변환에서는 값만 \(aX+b\)로 바꾸고, 같은 사건에 대응하는 확률은 그대로 옮겨야 한다. 인천중구고3수학과외에서도 이 원칙을 표와 역문제 양쪽에서 확인하면 같은 오류를 예방할 수 있다.