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인천중구 고2수학과외

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잘못 만든 분포표에서 시작한 확률변수 변환

인천중구과외 수업에서 다음과 같은 오류가 발견되었다. 확률변수 \(X\)의 값에 \(Y=2X+1\)을 적용하면서, 학생은 확률도 함께 \(2p+1\)로 바꾸었다.

XP(X=x)학생이 적은 Y학생이 적은 확률
00.211.4
10.532.0
20.351.6

새 확률의 합이 \(1.4+2.0+1.6=5\)가 되어 확률분포가 될 수 없다는 점에서 오류를 바로 확인할 수 있다.

값과 확률은 서로 다른 역할을 한다

확률변수 변환 \(Y=2X+1\)은 \(X\)가 가질 수 있는 을 바꾸는 규칙이다. \(X=x\)일 때 \(Y=2x+1\)이 되지만, 그 사건 자체는 변하지 않는다.

X의 값P(X=x)Y=2X+1P(Y=y)
00.210.2
10.530.5
20.350.3

따라서 \(P(Y=1)=0.2\), \(P(Y=3)=0.5\), \(P(Y=5)=0.3\)이다. 값의 위치는 달라졌지만 각 값에 대응하는 확률은 그대로 유지된다.

역문제로 확인하는 방법

Y의 분포에서 X를 되찾기

이번에는 \(Y=5\)일 때를 거꾸로 생각한다.

\[ Y=2X+1=5 \quad\Rightarrow\quad X=2 \]

그러므로

\[ P(Y=5)=P(X=2)=0.3 \]

잘못된 방식처럼 \(2\times0.3+1=1.6\)으로 계산하면 확률이 1보다 커진다. 이는 변환식이 확률에 적용되는 것이 아니라 확률변수의 값에 적용된다는 사실과 맞지 않는다.

최종 검증

새 분포표의 확률 합은

\[ 0.2+0.5+0.3=1 \]

이고, \(Y\)의 모든 값은 \(1,3,5\)로 정확히 \(2X+1\)에 대응한다. 따라서 선형변환에서는 값만 \(aX+b\)로 바꾸고, 같은 사건에 대응하는 확률은 그대로 옮겨야 한다. 인천중구고3수학과외에서도 이 원칙을 표와 역문제 양쪽에서 확인하면 같은 오류를 예방할 수 있다.

인천중구 고2수학과외 학부모 후기

학교 자습 시간에 문제를 읽다가 한쪽에 검산할 번호만 따로 적어 둔 걸 봤다고 하더라고요. 자료를 전부 챙겨 두는 대신 필요한 부분만 남겨 놓은 것도 눈에 띄었어요. 그냥 푸는 데서 끝내지 않고, 나중에 다시 볼 곳을 골라 둔 모양이었어요. 집에서는 수학 숙제를 마친 뒤 책상 위 시험지를 정리하다가 비슷한 흔적을 발견했어요. 마지막에 확인할 문제 번호만 시험지 한쪽에 모아 둔 상태였거든요. 예예전에는 궁금한 내용이 생겨도 따로 적어 두지 않고 넘어가는 경우가 많았는데, 이번에는 검산할 대상을 먼저 추려 놓았더라고요. 인천중구 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이 장면이 떠올랐어요. 답을 다시 찾아보는 것보다 어느 문제를 확인할지 먼저 정해 둔 점, 그리고 필요한 자료만 남긴 점이 한눈에 보이더라고요. 시험지 한쪽에 모인 번호들이 아이가 다시 볼 곳을 직접 골라 둔 흔적처럼 남아 있었습니다.

★★★★☆학부모 후기

학교 숙제를 펼쳐 놓고 보니 도함수 문제 옆에 작은 표가 그려져 있더라고요. 각 구간마다 부호가 하나씩 채워져 있었고, 도함수의 근도 따로 표시해 두었어요. 자료를 넘길 때 어디를 다시 봐야 하는지 바로 찾을 수 있게 정리한 모양이었어요. 모의고사를 본 날 밤에는 미분 문제를 그냥 지나치려다가 잠시 뒤 다시 펜을 들었어요. 도함수 부호표를 처음부터 다시 작성하면서 구간별 부호를 직접 넣어 보더라고요. 인천중구 수학과외를 알아보던 때와 비교해 보면, 예전에는 다시 확인할 부분이 있어도 문제 주변에 표시를 남기는 일이 거의 없었거든요. 이번에는 답만 보는 대신 근을 기준으로 표를 만들어 놓은 점이 눈에 들어왔어요. 그 뒤 숙제에서도 같은 단원 문제를 만나자 표의 빈칸부터 채웠습니다. 풀이가 끝난 뒤 다시 볼 위치가 표시와 함께 남아 있어서, 예전처럼 문제 전체를 한참 뒤적이지는 않았어요.

★★★★★학부모 후기

수업을 마친 뒤 아이가 맞힌 문제를 다시 풀어 설명하는 일이 인천중구 수학과외를 시작하고 조금씩 늘었습니다. 예전에는 모르는 문제를 혼자 끌어안고 질문도 못 했지만, 선생님이 오답 공책을 함께 보며 편하게 묻도록 이끌어 주셨고 학교 과제와 시험 일정에 맞춰 숙제량도 조절해 주셨습니다. 이제는 어려운 문제가 나와도 바로 피하지 않고 먼저 생각해 보려는 모습이 보여 좋게 느껴집니다.

★★★★★학부모 후기

방학 첫 주, 인천중구에서 수학 과외를 시작하며 아이와 공부 계획을 세우는 모습을 지켜봤습니다. 집중이 자주 끊기고 쉬운 문제도 자신 없어 질문거리를 준비하지 못했지만, 선생님은 수업 일정에 맞춰 차분히 적응하도록 도왔습니다. 시험 전에는 부담되는 부분을 부모와 나누고 학습량을 조절해 주셔서, 요즘은 맞힌 문제도 풀이를 다시 확인하는 습관이 조금씩 생겼습니다.

★★★★★학부모 후기

수행평가가 겹쳐 숙제가 평소보다 많이 남은 날에도 아이는 인천중구 수업을 부담스러워하지 않았습니다. 선생님께서는 할 수 있는 문제부터 차분히 풀게 하며 틀린 문제도 피하지 않도록 이끌었고, 이제는 답이 틀리면 포기하기보다 한 번 더 살펴보려 합니다.

★★★★★학부모 후기