인천중구 고3수학과외

표가 바뀌어도 이항분포의 뼈대를 놓치지 않는 풀이

영종국제도시와 공항신도시가 이어지는 생활권에서 인천중구고3수학과외 학습을 진행하던 중, 학생이 이항분포 문항의 답은 맞혔지만 풀이 순서가 지나치게 길어진 장면이 있었다. 문제는 “성공 확률이 \(p\)인 독립 시행을 5회 했을 때 성공 횟수가 2회 이상일 확률”을 묻고 있었다. 학생은 먼저 \(P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\)를 적었고 계산도 정확했다.

그런데 같은 정보를 막대그래프로 제시한 다음 문항에서는 그래프의 막대 높이를 먼저 해석하다가, ‘성공 횟수’와 ‘구하려는 확률조건’을 뒤섞었다. 앞 문항의 식을 그대로 옮겨 적은 뒤 그래프의 가로축을 시행 횟수처럼 취급한 것이다. 정답이 틀린 순간보다 앞서, 표현이 달라졌을 때 사건과 조건을 다시 연결하지 않고 이전 풀이 순서를 복사한 행동이 최초의 어긋남이었다.

가로축의 의미부터 다시 세운 순간

풀이 종이에 두 칸을 만들었다. 왼쪽에는 사건을, 오른쪽에는 그 사건의 확률을 적었다.

• 사건: 5회의 시행 중 성공 횟수 \(X\)가 2 이상
• 확률조건: \(X\sim B(5,p)\), 따라서 \(P(X=k)=\binom{5}{k}p^k(1-p)^{5-k}\)

이제 그래프의 가로축 \(0,1,2,3,4,5\)는 시행 횟수가 아니라 성공 횟수 \(k\)임을 표시했다. 막대 하나는 사건 \(X=k\)에 대응하고, 여러 막대를 합치는 질문이 \(X\ge2\)라는 사실도 그 옆에 연결했다. 그러자 그래프를 보든 표를 보든 먼저 사건을 확정한 뒤 확률을 읽는 동일한 순서가 생겼다.

교정은 두 행동으로 제한했다. 첫째, 문제에서 묻는 사건을 기호로 먼저 썼다. 둘째, 표현이 식인지 표인지 그래프인지와 관계없이 \(X\)의 의미를 한 줄로 고정했다. 예를 들어 \(p=\frac12\)라면

\[ P(X\ge2)=\sum_{k=2}^{5}\binom{5}{k}\left(\frac12\right)^k\left(\frac12\right)^{5-k} =\frac{10+10+5+1}{32}=\frac{26}{32}=\frac{13}{16} \]

이처럼 사건을 먼저 적으면 그래프에서 \(k=2,3,4,5\)에 해당하는 막대만 선택해야 한다는 판단이 자연스럽게 따라온다. 반대로 \(P(X\le1)\)을 구하라는 표현이라면 \(k=0,1\)만 남기고, 전체 확률에서 빼는 방법을 써도 사건의 범위가 먼저 확인되어야 한다.

표가 아니라 누적조건으로 제시된 변형

다음 적용에서는 숫자만 바꾸지 않고 자료 형식을 바꾸었다. 성공 확률이 \(0.4\)인 독립 시행을 6회 하고, 성공 횟수가 3회 미만일 확률을 구하는 문제를 누적분포표 형태로 제시했다. 학생은 곧바로 \(P(X<3)\)를 사건 칸에 쓰고 \(X\sim B(6,0.4)\)를 조건 칸에 분리했다.

따라서 필요한 항은 \(k=0,1,2\)이고,

\[ P(X<3)=\sum_{k=0}^{2}\binom{6}{k}(0.4)^k(0.6)^{6-k} \]

로 정리했다. 표의 행이 ‘성공 횟수’, 열이 ‘확률’이라는 자료 설명이 뒤늦게 주어졌지만, 학생은 설명을 읽은 뒤 사건의 범위를 바꾸지 않았다. 특히 ‘3회 미만’을 \(X\le3\)으로 읽지 않고 끝점 3을 제외한 \(0,1,2\)만 선택했다. 이는 표현이 달라져도 사건을 먼저 기호화하는 교정이 남아 있는지 확인하는 장면이었다.

순서가 뒤집힌 실전 문항에서의 확인

마지막 세트에서는 표가 먼저 나오고 질문이 뒤에 붙었다. 성공 횟수별 확률이 제시된 뒤 “성공이 적어도 4회일 확률”과 “성공이 4회가 아닐 확률”을 차례로 묻는 방식이었다. 학생은 두 질문을 같은 식으로 처리하지 않고 각각을 \(X\ge4\), \(X\ne4\)로 적었다. 첫 질문은 \(P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)\), 두 번째는 전체에서 \(P(X=4)\)를 뺀다는 점을 구분했다.

힌트 없이 풀이를 마친 뒤에는 표의 합을 다시 확인했다. 선택한 항들의 확률을 더한 값이 사건의 범위와 맞는지, 빠진 항이 없는지, 표의 합이 1인지 차례로 대조했다. 인천중구과외 수업에서 학생이 마지막에 남긴 메모는 “자료 모양보다 먼저 \(X\)와 사건을 정한다”였다. 식·그래프·표의 배열이 바뀌어도 이 문장을 스스로 꺼내고, 질문의 부등호에 맞는 항만 선택했다면 표현 전환 속에서도 이항분포의 판단 기준이 유지된 것으로 볼 수 있다.