인천운남동 중등수학과외

인천운남동중등수학과외, y=x+16과 y=-x+22의 교점 변화를 대입으로 확인하기

일차함수의 교점은 그림에서 두 직선이 만나는 위치이면서, 두 식을 동시에 만족하는 공통 해입니다. 이번 기본 문제는 y=x+16과 y=-x+20의 교점을 구하는 것이고 답은 (2,18)입니다. 이후 두 번째 식만 y=-x+22로 바꾸면 무엇이 유지되고 무엇이 달라지는지를 읽어야 합니다. 기본 문제의 풀이를 설명할 수 있어도 식의 상수항 변화가 교점에 미치는 영향을 혼자 연결하는 데는 잠시 멈출 수 있으므로, 말한 내용과 식·직선 표시가 같은 뜻인지 확인하는 방식이 필요합니다.

두 y값을 같게 놓는 이유와 기본 교점

교점에서는 같은 x에서 두 직선의 y값도 같습니다. 따라서 y=x+16과 y=-x+20을 각각 따로 계산하는 대신 x+16=-x+20으로 놓습니다. 양변에 x를 더하면 2x+16=20, 다시 16을 빼면 2x=4이므로 x=2입니다. 이 x값을 첫 번째 식에 넣으면 y=2+16=18입니다. 그래서 교점은 x와 y를 함께 적은 (2,18)입니다. 두 번째 식에도 대입해 -2+20=18이 되는지 확인하면, 한 점이 두 직선 위에 있다는 공통 해의 조건까지 확인됩니다.

인천운남동중등수학과외에서는 이때 ‘교점의 y좌표도 두 직선에서 같은가요?’처럼 짧게 묻고, 대응표에 첫 식의 x+16과 둘째 식의 -x+20을 나란히 적어 봅니다. 예를 들어 교점을 (2,18)이라고 말하면서 식에는 x=2, y=18을 표시하지 못한다면 답만 기억한 것인지 관계를 이해한 것인지 더 살펴볼 수 있습니다. 반대로 두 식 모두에 같은 순서쌍을 대입해 성립을 보이면, 그림의 만남과 연립한 식의 해가 연결됩니다.

두 번째 직선의 +20이 +22로 바뀔 때

비교 문제에서는 첫 번째 식 y=x+16은 그대로이고, 두 번째 식의 상수항만 -x+20에서 -x+22로 바뀝니다. 따라서 기존의 x=2를 그대로 쓰는 것이 아니라 새 식끼리 y값을 같게 놓아야 합니다. x+16=-x+22, 즉 2x+16=22이므로 2x=6, x=3입니다. 첫 번째 식에 넣으면 y=3+16=19이므로 새 교점은 (3,19)입니다. 두 번째 식에서도 y=-3+22=19이므로 같은 y값이 나옵니다.

여기서 +20이 +22로 2만큼 커졌다는 표시와 ‘둘째 직선이 위로 이동한다’는 그림의 표시를 연결합니다. 기울기는 두 식에서 각각 1과 -1로 유지되어 직선의 방향은 바뀌지 않지만, 만나는 위치는 달라집니다. 도움 없이 풀 때는 먼저 무엇이 바뀌었는지 표시하고, 그다음 두 y식을 같게 놓는 첫 단계를 스스로 선택하게 합니다. 막힌 뒤에만 “두 식이 동시에 만족하는 y는 어떤 관계인가요?”라고 되짚어 풀이 방향을 대신 제시하지 않도록 합니다.

답과 설명이 일치하는지 확인하는 기준

확인은 (3,19)를 두 원래 식에 대입하는 데서 끝나지 않습니다. x=3일 때 첫 식은 3+16=19, 둘째 식은 -3+22=19이므로 순서쌍의 두 좌표가 모두 맞습니다. 이어 “두 직선 중 하나만 옮기면 교점이 어떻게 달라지나요?”라는 질문에, 두 번째 식의 절편이 2 커졌고 그래서 새 연립식으로 x를 다시 구했다고 설명하는지 봅니다. 말로는 조건 변화를 말하지만 이전 식 x+16=-x+20을 계속 쓰는 경우도 있을 수 있어, 식과 그림의 표시를 함께 비교하는 것이 중요합니다.

다음에는 기본 문제 한 개를 짧게 복원한 뒤, 상수항이 바뀐 비교 문제에서 바뀐 수와 유지된 기울기를 각각 표시하게 합니다. (3,19)를 얻은 뒤 두 식 대입까지 스스로 수행하고, 교점의 두 좌표가 어느 식에서도 같은 값을 만든다는 근거를 말할 수 있는지를 확인합니다. 이 과정이 가능하면 다른 상수항 변화에도 같은 관계를 적용할 수 있는지 범위를 넓혀 볼 수 있고, 첫 식을 세우는 지점에서 멈춘다면 교점과 공통 해의 연결부터 다시 점검합니다.