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인천운남동 고2수학과외

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상수항을 빠뜨린 시그마 계산

학생의 풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었다.

문제: \(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+3)\)의 값을 구하여라.

학생 풀이: \(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+3)=\sum_{k=1}^{5}k+3=15+3=18\)

오류는 상수 \(3\)을 한 번만 더한 데 있다. 시그마 안에서 \(3\)은 \(k=1,2,3,4,5\)일 때마다 반복되므로 모두 다섯 번 나타난다.

항을 직접 펼쳐 보기

\[ \sum_{k=1}^{5}(k+3) =(1+3)+(2+3)+(3+3)+(4+3)+(5+3) \]

\[ =(1+2+3+4+5)+(3+3+3+3+3) =15+15=30 \]

따라서 상수항의 합은 \(3\)이 아니라 \(5\times3=15\)이다.

시그마 성질로 간단히 계산하기

항 개수를 먼저 세기

\(k=1\)부터 \(k=5\)까지이므로 항의 개수는

\[ 5-1+1=5 \]

이다. 일반적으로

\[ \sum_{k=m}^{n}c=(n-m+1)c \]

가 성립한다.

올바른 계산

\[ \sum_{k=1}^{5}(k+3) =\sum_{k=1}^{5}k+\sum_{k=1}^{5}3 \]

\[ =\frac{5\cdot6}{2}+(5-1+1)\cdot3 =15+15=30 \]

보기 없이 직접 답하는 문제라면 정답은 30이다. 인천운남동과외에서 이 유형을 다룰 때도 식을 분리하기 전에 상수항이 몇 번 반복되는지 먼저 표시하면 같은 실수를 줄일 수 있다.

최종 점검

상수항 \(c\)가 \(m\)부터 \(n\)까지 합에 포함되면 항 개수는 \(n-m+1\)개이다. 따라서 \(\sum_{k=1}^{5}3=15\)이며, 학생의 \(18\)은 상수항을 한 번만 더해서 생긴 잘못된 값이다.

인천운남동 고2수학과외 학부모 후기

학교 수행평가 준비를 다시 펼친 날, 아이가 수열 문제 옆에 항 번호와 값을 나눠 적어 두었어요. 다음에 이어서 볼 위치까지 정해 둔 걸 보니, 어디서부터 다시 확인할지 흔적이 남아 있더라고요. 친구와 공부하고 돌아온 저녁에도 문제집을 잠깐 살펴봤는데, 항 번호와 값이 따로 적혀 있었습니다. 두 항 사이의 간격을 먼저 짚어 놓은 모습도 보이더라고요. 예전에는 자기 판단의 근거를 자료에 남기지 않아서 시간이 지나면 어떤 생각으로 풀었는지 되돌아보기 어려웠거든요. 인천운남동 수학과외를 알아보며 여러 상황을 지켜보던 중 이런 장면이 눈에 띄었습니다. 답만 적어 둔 게 아니라 번호와 값을 구분해 놓아서, 풀이를 다시 볼 때 확인할 자리가 분명해 보였어요.

★★★★★학부모 후기

새 단원 문제집을 처음 펼쳐 보던 저녁, 아이가 문제를 읽다가 계산에서 자꾸 헷갈리는 부분을 짧게 적어 두더라고요. 길게 정리한 건 아니고, 다음 문제로 넘어가기 전에 한 문장 정도만 남겼어요. 그 표시를 확인하고 나서는 같은 페이지를 붙잡고 있지 않고 바로 이어서 풀었습니다. 인천운남동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이 장면이 떠올랐어요. 예예전에는 복습할 때 앞장부터 다시 펼쳐서 전체 내용을 훑는 일이 많았거든요. 그런데 새 단원 숙제를 마친 날에는 그냥 지나치지 않고 문제집 뒤쪽을 찾아봤습니다. 자주 틀리는 계산 습관만 따로 적어 둔 걸 발견했는데, 예전처럼 처음부터 전부 되짚은 게 아니라 필요한 부분을 짧게 남긴 모습이었어요.

★★★★★학부모 후기

계산 숙제를 마쳤다며 문제집을 정리하던 아이가 바로 덮지는 않더라고요. 마지막에 나온 결과를 처음 했던 방식과는 다른 방법으로 다시 확인하고 나서야 손을 뗐어요. 방학 숙제를 하던 오전이라 저도 옆에서 잠깐 지켜봤는데, 끝났다고 생각한 순간에도 한 번 더 살펴보는 모습이 눈에 띄었습니다. 예전에는 틀린 문제를 다시 펼쳐도 한 부분만 대충 확인하고 지나가는 일이 많았거든요. 그런데 이번에는 처음 계산한 과정과 다른 방식으로 결과를 비교해 보고 있더라고요. 인천운남동 수학과외 관련해 알아보던 중에도 제가 궁금했던 부분이 바로 이런 실제 공부 모습이었는데, 거창한 말보다 행동으로 보이니 더 잘 느껴졌습니다. 그 뒤 계산 숙제를 새로 시작했을 때도 비슷한 장면이 나왔어요. 마지막 결과를 확인한 자리 옆에 작은 표시를 해두고 다음 문제로 넘어가더라고요. 이전처럼 답만 보고 끝내는 모습과는 달리, 자신이 한 계산을 한 번 더 짚어본 흔적이 남아 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

숙제 검사를 받는 날이면 아이가 틀린 문제를 숨기려 했는데, 선생님은 맞힌 문제도 풀이를 다시 설명하게 하며 부담 없이 확인해 주셨습니다. 인천운남동에서 수업을 시작한 뒤 일정에도 차츰 적응했고, 시험이 가까워지면 새 진도보다 부족한 부분을 다시 보며 그날 할 일과 다음 과제를 분명히 나눠 주셨습니다. 예전처럼 시험기간에 공부량을 갑자기 늘리기보다 틀린 뒤에도 금방 마음을 추스르고 다시 이어가는 모습이 보여 안심했습니다.

★★★★★학부모 후기

새 학기를 앞두고 인천운남동 수학과외를 시작했는데, 예전에는 기분 내키는 날에만 공부해 숙제를 몰아서 하곤 했습니다. 어려운 문제를 건너뛰고 쉬운 것부터 풀던 날에도 선생님은 잘한 부분을 구체적으로 짚어 주며 이해했는지 천천히 확인해 주셨습니다. 이제는 모르는 내용도 숨기지 않고 말하며, 공부를 시작하는 마음이 한결 편해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 다음 날 저녁, 예전 같으면 정답만 확인하고 덮었을 아이가 식사 후 틀린 문제를 다시 펼쳐 보며 질문할 내용을 적고 있었습니다. 인천운남동에서 수학과외를 시작한 뒤 선생님이 조급해하는 마음을 살피며 어려운 부분은 진도를 멈추고 차분히 다시 설명해 주신 덕분입니다. 숙제를 대하는 태도부터 달라진 모습이 가장 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기