인천운남동 고2수학과외







상수항을 빠뜨린 시그마 계산
학생의 풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었다.
문제: \(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+3)\)의 값을 구하여라.
학생 풀이: \(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+3)=\sum_{k=1}^{5}k+3=15+3=18\)
오류는 상수 \(3\)을 한 번만 더한 데 있다. 시그마 안에서 \(3\)은 \(k=1,2,3,4,5\)일 때마다 반복되므로 모두 다섯 번 나타난다.
항을 직접 펼쳐 보기
\[ \sum_{k=1}^{5}(k+3) =(1+3)+(2+3)+(3+3)+(4+3)+(5+3) \]
\[ =(1+2+3+4+5)+(3+3+3+3+3) =15+15=30 \]
따라서 상수항의 합은 \(3\)이 아니라 \(5\times3=15\)이다.
시그마 성질로 간단히 계산하기
항 개수를 먼저 세기
\(k=1\)부터 \(k=5\)까지이므로 항의 개수는
\[ 5-1+1=5 \]
이다. 일반적으로
\[ \sum_{k=m}^{n}c=(n-m+1)c \]
가 성립한다.
올바른 계산
\[ \sum_{k=1}^{5}(k+3) =\sum_{k=1}^{5}k+\sum_{k=1}^{5}3 \]
\[ =\frac{5\cdot6}{2}+(5-1+1)\cdot3 =15+15=30 \]
보기 없이 직접 답하는 문제라면 정답은 30이다. 인천운남동과외에서 이 유형을 다룰 때도 식을 분리하기 전에 상수항이 몇 번 반복되는지 먼저 표시하면 같은 실수를 줄일 수 있다.
최종 점검
상수항 \(c\)가 \(m\)부터 \(n\)까지 합에 포함되면 항 개수는 \(n-m+1\)개이다. 따라서 \(\sum_{k=1}^{5}3=15\)이며, 학생의 \(18\)은 상수항을 한 번만 더해서 생긴 잘못된 값이다.