검단신도시 중등수학과외

검단신도시중등수학과외, 높이 변화에 따른 직육면체 겉넓이와 부피를 식으로 확인하기

직육면체는 숫자 하나만 바뀌어도 겉넓이와 부피가 같은 방식으로 변한다고 보기 쉽습니다. 그러나 가로 16, 세로 3, 높이 4인 직육면체에서 높이만 8로 바꾸는 과제는, 어떤 면의 넓이가 그대로이고 어떤 면이 달라지는지를 구분해야 정확히 풀 수 있습니다. 기본 문제의 겉넓이는 248제곱단위, 부피는 192세제곱단위이며, 높이가 8일 때는 겉넓이 400제곱단위, 부피 384세제곱단위가 됩니다. 핵심은 면의 넓이를 모두 더하는 겉넓이와 공간의 양을 구하는 부피를 서로 다른 관점으로 보는 것입니다.

기본 문제에서 세 종류의 면을 나누어 계산합니다

가로·세로 면의 넓이는 16×3=48이고, 이 면은 위와 아래에 두 개 있습니다. 가로·높이 면은 16×4=64로 앞뒤 두 면에 해당하며, 세로·높이 면은 3×4=12로 양옆 두 면에 해당합니다. 따라서 겉넓이는 2×(48+64+12)=2×124=248제곱단위입니다. 전개도에 서로 마주 보는 면을 같은 번호로 표시하면, 48인 면이 두 장이고 64와 12인 면도 각각 두 장이라는 관계가 눈에 보입니다.

부피는 밑면의 넓이 16×3=48에 높이 4를 곱해 48×4=192세제곱단위입니다. 여기서 48은 한 층의 넓이, 4는 그 층이 쌓인 높이라고 해석할 수 있습니다. 넓이에는 제곱단위, 부피에는 세제곱단위를 적어 두면 두 값을 같은 종류의 양으로 섞어 계산하는 일을 줄일 수 있습니다. 기본 풀이가 맞는지는 2×(48+64+12)와 16×3×4를 각각 다시 계산하여 확인합니다.

높이가 8이 되면 고정된 면과 변한 면을 구분합니다

높이가 바뀌어도 가로·세로만 사용하는 위아래 면의 넓이는 16×3=48로 그대로입니다. 반면 가로·높이 면은 16×8=128, 세로·높이 면은 3×8=24로 바뀝니다. 그러므로 새 겉넓이는 2×(48+128+24)=2×200=400제곱단위입니다.

겉넓이가 248에서 400으로 변했지만 두 배인 496은 아닙니다. 높이와 관계없는 48짜리 면 두 장은 변하지 않았기 때문입니다. 반대로 부피는 밑면 넓이 48에 높이 8을 곱하므로 48×8=384세제곱단위입니다. 부피에서는 높이가 곱해지는 항이므로 높이가 4에서 8로 두 배가 되면 192도 384로 두 배가 됩니다. 같은 ‘높이 변화’라도 어떤 식에 높이가 들어가는지를 살피는 것이 판단의 기준입니다.

설명과 식이 같은 뜻인지 확인하며 다음 문제로 연결합니다

비교 과제에서는 정답을 먼저 알려 주기보다 학생이 첫 식으로 무엇을 선택하는지 살핍니다. “두 문제에서 달라진 조건은 무엇인가요?”라는 질문에 높이 4가 8로 바뀌었다고 말한 뒤, 식에서도 16×8과 3×8을 적는지 확인합니다. 또 “부피에서는 높이가 어떤 항에 곱해지나요?”에 밑면 넓이 16×3에 곱한다고 설명하고 16×3×8을 썼는지도 함께 봅니다. 말은 맞지만 식이 이전의 4를 그대로 두었다면, 조건 찾기와 계산 적용을 분리해 다시 점검할 수 있습니다.

다음 단계는 높이 8인 문제에서 위아래 면 48은 고정, 옆면 128과 24는 변화라고 표시한 뒤 스스로 겉넓이와 부피를 계산하는 것입니다. 겉넓이 400제곱단위와 부피 384세제곱단위를 쓴 뒤에는 각 면의 합이 200이고 같은 면이 두 장씩인지, 부피 식에 높이 8이 실제로 곱해졌는지를 확인합니다. 이 과정을 통해 기본 문제를 다시 반복하기보다 새 조건을 읽고 식의 해당 부분을 바꾸는 힘을 확인할 수 있습니다.