검단신도시 고3수학과외

경계에서 멈춰 세운 한 줄의 계산

식 대부분에는 밑줄이 있었지만, 정의역과 끝점에는 아무 표시가 없었다.

문제는 다음과 같았다.

로그의 진수 조건을 만족하는 실수 x에 대하여
\(\log_2(x-1)+\log_2(5-x)\ge 1\)을 만족하는 정수 x의 개수를 구하여라.

학생은 두 로그를 합쳐 \(\log_2\{(x-1)(5-x)\}\ge1\)로 만든 뒤, 곧바로 \((x-1)(5-x)\ge2\)를 풀었다. 이 부분까지는 맞았다. 그러나 이차부등식을 정리한 뒤 얻은 \(2\le x\le4\)에서 정수 2, 3, 4를 모두 세어 답을 3이라고 적었다.

답에서 거꾸로 찾은 최초의 흔들림

오답을 역으로 따라가 보니 계산식보다 먼저 빠진 것이 있었다. 로그의 진수 조건인 \(x-1>0,\;5-x>0\), 즉 \(1

풀이를 다시 쓰면서 학생은 식 옆에 작은 상자를 그려 \(1

\[ (x-1)(5-x)\ge2 \iff -x^2+6x-5\ge2 \iff x^2-6x+7\le0 \]

을 계산하고, 근이 \(3-\sqrt2,\;3+\sqrt2\)임을 확인했다. 따라서 실제 해는 \(3-\sqrt2\le x\le3+\sqrt2\)이고, 정수는 2, 3, 4다. 이번에는 답이 우연히 같더라도 ‘일반 구간을 그대로 적용한 것’과 ‘정의역을 확인한 뒤 허용된 후보를 세는 것’은 다르다는 점을 분리했다.

경계가 결론을 바꾸는지 따로 확인하기

교정은 여러 검산법을 늘리는 방식이 아니었다. 일반구간과 예외가 생길 수 있는 경계만 나누어 필요한 부분을 다시 계산했다. 학생은 후보를 오름차순으로 2, 3, 4라고 번호를 붙인 뒤 원래 로그식에 대입했다.

• x=2: \(\log_2 1+\log_2 3=\log_2 3\ge1\)
• x=3: \(\log_2 2+\log_2 2=2\ge1\)
• x=4: \(\log_2 3+\log_2 1=\log_2 3\ge1\)

그 다음에는 조건 하나를 빼면 어떤 일이 생기는지 반례를 만들었다. 진수 조건을 무시하고 정수 후보를 넓은 구간에서 찾으면 \(x=1\)이나 \(x=5\) 같은 값도 검토 대상처럼 보이지만, 원래 식에서는 \(\log_2 0\)이 되어 아예 정의되지 않는다. 학생은 이 반례를 통해 ‘계산 결과의 끝점’과 ‘원식이 허용하는 끝점’을 같은 것으로 취급하면 안 된다고 기록했다. 풀이 종료 후에는 사용한 핵심조건에만 동그라미를 치고, 각 후보를 줄인 순서를 번호로 남겼다.

조건의 위치를 바꾼 문제에서 남은 판단

다음 문제는 숫자만 바꾼 것이 아니었다.

실수 x가 \(0x를 모두 구하여라.

이번에는 정의역의 한쪽 끝점이 문제에 직접 포함되어 있었다. 학생은 처음부터 \(0

마지막으로 조건 \(x\le4\)를 지운 반례도 비교했다. 로그의 진수 조건만으로도 \(x<4\)가 남으므로 결론은 달라지지 않았지만, 학생은 ‘주어진 조건이 실제 후보를 줄이는지’와 ‘로그 자체가 만드는 정의역인지’를 구분해 표시했다. 반대로 \(x\ge1\)을 추가하면 후보 1이 경계에서 제외될 수 있음을 확인하며 조건의 위치를 함부로 생략하지 않았다.

유형명과 풀이 힌트를 가린 마지막 4점 문항에서도 학생은 먼저 정의역과 경계값을 찾고, 일반구간의 계산 뒤 원식에 후보를 재대입했다. 그래프의 일부가 가려진 변형에서도 치환한 식만 믿지 않고 치환 전 조건으로 돌아가 허용 여부를 확인했다. 계산을 빠르게 하는 습관보다 결론을 바꿀 수 있는 조건을 먼저 표시하는 판단이 새로운 문제에서도 스스로 재현된 것이다.