검단신도시 중1수학과외

검단신도시 중1수학과외, 각의 꼭짓점과 변을 읽는 과정

이 글은 특정 학교의 시험 경향이 아니라, 한 학생이 각의 꼭짓점과 변을 확인하며 풀이를 바로잡은 실제 수업 흐름을 정리한 것이다.

그림보다 먼저 확인했어야 할 한 점

문제에는 삼각형 모양의 그림과 함께 점 A, B, C, D가 표시되어 있었고, “각 ABD의 꼭짓점과 두 변을 쓰시오”라는 질문이 제시되었다. 학생은 그림에서 가장 가운데에 보이는 점을 꼭짓점이라고 생각해 B를 적은 뒤, 변을 AB와 BD가 아니라 그림의 바깥쪽 선분인 AC와 CD로 적었다.

풀이를 거꾸로 따라가 보니 오류가 시작된 곳은 각의 이름을 읽을 때 가운데 글자를 먼저 확인하지 않은 판단이었다. 그림에서 두 선분이 만나는 모양을 눈으로만 따라가며 전체 도형의 변을 답으로 옮긴 것이다. 각 ABD에서는 세 글자의 가운데 글자인 B가 꼭짓점이고, 양쪽 글자인 A와 D가 꼭짓점과 연결된 점이라는 규칙을 먼저 적용해야 했다.

∠ABD에서 B는 꼭짓점, BA와 BD는 그 각을 이루는 두 변이다.

학생은 새 풀이를 길게 다시 쓰지 않고, 기존 답안의 첫 줄에 각 이름을 분해해 표시했다. “A-B-D”처럼 가운데 B에 동그라미를 치고, 그림에서 B에서 A로 이어지는 선분과 B에서 D로 이어지는 선분을 각각 색칠했다. 그 뒤 “∠ABD의 꼭짓점은 B, 변은 BA와 BD”라고 적었다. 선분 AB와 BA는 같은 선분이라는 점도 확인했지만, 질문에서 요구한 순서에 맞추어 BA와 BD로 정리했다.

경계에 놓인 선분을 따로 판단하다

이어진 단원 마무리 문제에서는 도형 안에 작은 각이 표시되어 있었고, 여러 선분 중 실제로 그 각을 이루는 선분을 찾도록 했다. 학생은 도형의 바깥 경계에 있는 선분이면 모두 각의 변이라고 보려 했다. 그러나 표시된 각은 점 P에서 시작해 Q와 R 방향으로 벌어진 부분에만 그려져 있었다.

이번에는 그림의 외곽선이라는 이유만으로 답을 고르지 않았다. 먼저 각의 꼭짓점 P를 찾고, P에서 실제로 뻗어 나간 두 선분 PQ와 PR을 표시했다. 각 표시가 선분 PQ와 PR 사이에 놓였는지 살핀 다음, 도형의 다른 경계선은 각의 변에서 제외했다. 처음 문제에서 사용한 “가운데 글자 확인”은 유지하되, 이번에는 그림에 실제로 그어진 선과 각의 표시까지 함께 대조한 것이다.

질문도 바꾸어 연습했다. “각 P의 변은 무엇인가?”라는 문장을 “선분 PR과 선분 PQ가 이루는 각의 꼭짓점은 어디인가?”로 바꾸고, 도형을 옆으로 돌려 점 이름의 위치도 바꾸었다. 학생은 그림이 기울어져 있어도 두 선분이 만나는 점을 찾고, 그 점을 각의 이름 가운데 글자와 연결했다. 숫자를 바꾼 문제가 아니라 질문의 방향과 도형 배치를 바꾼 상황에서도 같은 판단을 사용한 셈이다.

표시가 없는 선을 추측하지 않기

다음 독립 문제에서는 점 X에서 Y와 Z로 선분이 뻗어 있었지만, 도형의 다른 부분에는 선이 이어진 것처럼 보이는 부분이 있었다. 학생은 보이지 않는 연장선을 마음속으로 그려 각의 변을 더 늘리려 했다. 풀이를 멈추게 한 뒤, 문제 그림에 실제로 표시된 선분만 근거로 답하도록 했다.

• 각의 이름에서 가운데 글자를 먼저 찾는다.
• 그 점에서 양쪽 글자로 이어지는 실제 선분을 확인한다.
• 도형의 외곽선이나 상상으로 연장한 선은 답에 넣지 않는다.

이 기준으로 학생은 ∠XYZ를 보고 꼭짓점이 Y라고 적은 뒤, 선분 YX와 YZ를 표시했다. 이어 “Y에서 두 선분이 시작하므로 Y가 꼭짓점이고, X와 Z 방향의 선분이 각의 변이다”라고 이유를 설명했다. 그림을 뒤집고 점 이름을 바꾼 추가 문제에서도 해설을 보지 않은 채 같은 순서로 풀이했다.

마지막 검증은 정의와 그림을 함께 대조하는 방식으로

마지막에는 각의 이름을 거꾸로 읽어 ∠LMN의 꼭짓점을 M이 아닌 L로 적는 문제를 스스로 점검했다. 학생은 세 글자를 다시 띄어 쓰고 L-M-N의 가운데에 있는 M을 표시했다. 그다음 그림에서 M에서 L과 N으로 이어진 두 선분을 찾아 답과 맞춰 보았다. “가운데 글자가 꼭짓점이라는 규칙만 적은 것이 아니라, 실제 그림에서 그 꼭짓점에 두 선분이 만나는지도 확인했다”고 설명했다.

이처럼 각의 꼭짓점과 변을 판단할 때는 도형의 크기나 방향보다 각의 이름, 실제 표시, 선분의 연결 상태를 차례로 확인해야 한다.