검단신도시 중3수학과외

검단신도시 생활권에서 살펴본 삼각비 선택의 기준

검단신도시과외 수업에서 높이와 거리 문제를 풀던 중, 학생이 식은 빠르게 세웠지만 삼각비를 고른 근거를 설명하지 못하는 장면이 있었습니다. 검단신도시중3수학과외에서도 자주 확인하는 부분은 계산보다 먼저 기준각에서 각 변이 어떤 역할을 하는지 판단하는 일입니다. 가좌마을1.2단지와 가좌마을5.6단지가 있는 생활권, 또는 인천아라중학교가 포함된 생활권에서 접할 수 있는 실생활형 그림도 결국 같은 직각삼각형의 판단으로 정리할 수 있습니다.

학생의 풀이 기록에서 먼저 멈춘 지점

문제는 다음과 같았습니다.

지면에 수직으로 세운 깃대에서 12m 떨어진 지점 P에서 깃대 꼭대기를 바라보니, 지면과 시선이 이루는 각이 40°였다. 깃대의 높이를 구하여라.

학생은 그림에 지면을 수평으로 그리고, 깃대 높이를 h, P에서 깃대 밑까지의 거리를 12m로 적었습니다. 꼭대기와 P를 선분으로 연결한 뒤에는 다음처럼 기록했습니다.

sin 40° = h ÷ 12

학생은 “높이가 구해야 하는 길이니까 sin을 썼다”고 말했습니다. 그러나 이 식은 결과가 틀리기 전에 이미 기준을 잃은 상태였습니다. 40°가 놓인 꼭짓점을 확인하지 않고, 미지의 높이와 알고 있는 거리만 보고 삼각비를 골랐기 때문입니다. 기준각은 P에 있고, 높이 h는 그 각의 맞은편 변, 12m는 각에 붙어 있는 직각삼각형의 한 변입니다.

식 전체가 아니라 선택 기준 하나만 되돌리기

기존 그림과 12m라는 기록은 그대로 두고, 기준각 40°에 작은 표시를 하게 했습니다. 그런 다음 P를 기준으로 세 변의 역할을 다시 적었습니다.

• 기준각의 맞은편 변: 깃대 높이 h
• 기준각에 붙어 있는 직각변: 12m
• 직각 맞은편의 빗변: P에서 깃대 꼭대기까지의 시선

따라서 필요한 것은 맞은편 변과 붙어 있는 변의 비이므로 tan 40° = h ÷ 12입니다. 학생은 이미 적어 둔 그림과 숫자를 유지한 채, 처음의 sin만 tan으로 바꾸었습니다. 이때 중요한 것은 “높이가 미지수라서 어떤 삼각비”가 아니라 “기준각에서 높이와 거리의 역할이 무엇인가”였습니다.

그림의 방향이 달라진 새 장면

다음 문제에서는 그림을 반대로 제시했습니다.

길이 10m인 케이블이 지면의 고정점에서 건물의 꼭대기까지 연결되어 있다. 케이블과 건물의 수직선이 이루는 각은 30°이다. 건물의 높이를 케이블의 길이와 비교하는 비를 구하여라.

이번에는 각이 지면과 케이블 사이가 아니라, 건물의 수직선과 케이블 사이에 표시되어 있습니다. 학생은 먼저 그 각을 기준각으로 표시하고, 케이블 10m는 빗변, 건물의 높이는 기준각에 붙은 직각변이라고 적었습니다. 그러므로 높이와 케이블의 비는 cos 30° = 높이 ÷ 10입니다.

앞 문제처럼 높이와 지면의 거리를 비교하는 모양이 아니며, 기준각의 위치도 달라졌습니다. 그래서 같은 높이 문제라도 tan을 자동으로 고르지 않고, 기준각에서 필요한 두 변의 역할을 확인해야 합니다. 여기서는 새 계산법을 넓히는 것이 아니라, 기준각이 바뀌면 비교할 변도 달라진다는 경계를 확인했습니다.

힌트 없이 다시 세운 판단

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.

관측점 Q에서 수직으로 선 나무의 밑까지의 거리는 18m이다. Q에서 나무 꼭대기를 바라보는 시선과 지면이 이루는 각은 35°이다. 나무의 높이를 구할 때 사용할 삼각비와 식을 쓰고, 그 이유를 설명하여라.

학생은 먼저 Q에 35°를 표시했습니다. 이어 나무의 높이는 그 각의 맞은편, 18m는 각에 붙은 직각변이라고 말했습니다. 그래서 tan 35° = 높이 ÷ 18을 선택했습니다. 마지막으로 구한 높이를 h라 두고 원래 그림에 다시 대입하여, h/18 = tan 35°가 처음 표시한 기준각에서 ‘맞은편 변 ÷ 붙은 변’과 일치하는지 확인했습니다.

학생은 “문제에 높이가 나오면 tan”이라고 외운 것이 아니라, 기준각을 정하고 그 각에서 두 변의 역할을 확인한 뒤 삼각비를 선택했습니다. 이 기준이 유지되면 그림의 방향이나 각의 위치가 달라져도 같은 세부개념 안에서 스스로 판단할 수 있습니다.