청학지구 중등수학과외

청학지구중등수학과외, 길이 19·20과 사이각 60°로 SAS 합동 확인하기

두 삼각형에 각각 길이 19, 20인 두 변과 그 사이각 60°가 주어지면 두 삼각형은 합동입니다. 반면 60°라는 각 조건을 지우고 두 변의 길이만 남기면 합동을 확정할 수 없습니다. 청학지구중등수학과외에서 이 차이를 다룰 때 핵심은 ‘변의 길이가 같으니 모양도 같을 것’이라고 바로 판단하는 대신, 주어진 각이 두 변 사이의 각인지와 그 조건이 남아 있는지를 확인하는 데 있습니다.

길이 두 개와 사이각이 함께 있을 때의 판단

기본 문제에서는 한 삼각형의 두 변을 19, 20으로 표시하고, 다른 삼각형에도 대응하는 두 변을 같은 색으로 표시합니다. 이어서 두 변이 만나는 꼭짓점의 각을 60°로 표시합니다. 길이 19인 변끼리, 길이 20인 변끼리 대응하고, 그 두 변 사이의 각도 모두 60°이므로 ‘두 변과 그 사이각’이 각각 같습니다. 따라서 SAS 합동 조건을 만족하여 두 삼각형은 합동입니다. 여기서 60°는 단순히 삼각형 안에 있는 아무 각이 아니라, 길이 19와 20의 두 변이 만나는 사이각이라는 점이 결정적입니다.

풀이에는 “19=19, 20=20, 사이각 60°=60°이므로 SAS 합동”처럼 대응 순서가 보이게 적습니다. 합동이라는 결론은 넓이가 비슷해 보이거나 그림의 방향이 같아 보여서가 아니라, 세 조건이 대응하여 일치하기 때문에 나옵니다. 그림을 뒤집거나 회전해도 길이와 각의 관계는 달라지지 않는다는 점도 함께 확인할 수 있습니다.

60°를 삭제하면 왜 결론이 달라질까

비교 문제에서는 길이 19와 20만 남기고 사이각 60° 조건을 삭제합니다. 이때 두 변의 길이는 고정되어도, 두 변 사이의 각은 50°, 60°, 80°처럼 여러 값이 될 수 있습니다. 각이 달라지면 세 번째 변의 길이와 삼각형의 벌어진 정도도 달라질 수 있으므로, 서로 같은 모양과 크기라고 확정할 수 없습니다. 즉 정답은 ‘합동을 확정할 수 없음’입니다.

이를 눈으로 확인하려면 한 꼭짓점에서 길이 19인 선분과 길이 20인 선분을 그린 뒤, 두 선분 사이를 좁게 벌린 경우와 넓게 벌린 경우를 비교합니다. 두 길이는 유지되지만 사이각이 달라져 서로 다른 삼각형이 만들어집니다. 따라서 두 변만 같은 조건은 SAS가 아니며, 사이각 정보가 빠진 자리를 임의로 60°라고 채울 수 없습니다.

조건 비교를 혼자 해 보는 다음 확인

처음에는 두 문제를 나란히 놓고 19, 20, 60°를 각각 표시한 뒤, 비교 문제에서 사라진 표시가 60°임을 찾게 합니다. 교사는 “주어진 각은 두 변 사이의 각인가요?”처럼 필요한 지점에서만 짧게 묻고, 이후에는 비교 문제의 첫 판단을 스스로 선택하도록 봅니다. 답만 맞혔는지보다 ‘각도 조건을 없애고 두 변만 남겨도 모양이 정해지나요?’라는 질문에 서로 다른 사이각으로 서로 다른 삼각형을 만들 수 있다고 설명하는지가 중요합니다.

다음 단계에서는 기본 문제의 SAS 근거를 적은 풀이와, 비교 문제에서 60°가 삭제되었음을 표시한 풀이를 함께 확인합니다. 두 변 사이각이 주어졌을 때는 SAS로 합동을 말하고, 그 각이 없을 때는 확정할 수 없다고 구분하여 쓸 수 있는지 살핍니다. 이 과정을 통해 새 조건에서 기존의 합동 판단을 그대로 적용하지 않고, 남아 있는 조건에 맞추어 결론을 정하는 흐름을 확인할 수 있습니다.