청학지구 중2수학과외

그래프 모양보다 먼저 읽어야 할 것

청학지구와 금호아파트가 있는 생활권에서 진행한 중2수학과외에서 학생은 문장 상황을 일차함수 그래프로 나타내는 문제를 풀었다. 문제에는 기본요금이 있는 택시 이용 상황과 이동 거리에 따른 추가 요금이 제시되어 있었다. 학생은 문장을 읽으며 ‘거리’, ‘처음 내는 금액’, ‘1km마다 늘어나는 금액’에 밑줄을 그었지만, 그래프를 그릴 때는 이 표시를 다시 확인하지 않았다.

“그래프가 오른쪽 위로 올라가니까 식은 y=2x라고 보면 되죠?”

학생은 세로축과 가로축의 이름을 적은 뒤, 원점을 지나도록 직선을 그렸다. 표에는 거리 0km, 1km, 2km에 해당하는 요금을 각각 적었지만, 거리 0km에서 이미 기본요금이 있다는 사실을 식에 반영하지 않았다. 계산 과정에는 1km마다 증가하는 금액을 기울기로 사용한 흔적이 남아 있었고, 마지막에는 그래프 위 점 하나만 식에 대입해 맞는지 확인했다.

오답을 뒤에서부터 읽어 찾은 첫 분기점

채점된 풀이를 거꾸로 살펴보면서 학생은 마지막 점의 계산보다 먼저 그래프가 원점을 지나도록 정한 줄을 확인했다. 그 줄에서 이미 문장의 조건과 그래프의 출발점이 어긋나 있었다. 그래프가 증가한다는 모양만 보고 식을 정한 것이 최초의 잘못된 판단이었다. 이후 표의 값과 식이 맞지 않은 것은 그 선택에서 이어진 결과였다.

교사는 전체 풀이를 지우게 하지 않고, 처음 그은 그래프 옆에 문장 속 출발 조건만 다시 쓰게 했다.

거리 0일 때의 요금은 y절편이고, 거리가 1만큼 늘 때 증가하는 요금은 기울기다.

학생은 표의 두 행을 골라 요금의 차이를 계산했다. 거리 0km에서 3,000원, 1km에서 4,500원이므로 1km 증가할 때 1,500원씩 늘어난다는 점을 표시했다. 이어 거리 0에서의 값 3,000원을 y절편으로 적고 식을 y=1500x+3000으로 고쳤다. 이미 계산한 표는 그대로 두고, 새 식에 거리 0과 1을 대입해 표의 요금과 일치하는지만 확인했다.

표와 문장의 순서를 바꾸어 다시 읽기

다음 문제에서는 자전거 대여 시간과 요금의 관계를 문장이 아니라 표와 그래프로 제시했다. 표의 일부 숫자는 가리고, 그래프에는 두 점만 표시했다. 학생은 그래프의 기울기부터 추측하지 않고 두 점의 좌표를 읽어 시간 1시간에서 2시간으로 늘어날 때 요금이 얼마나 변하는지 계산했다. 그다음 시간 0일 때의 요금을 그래프의 세로축에서 확인해 식의 절편으로 정했다.

이번에는 질문도 달랐다. 식을 구하는 대신 “요금이 9,000원일 때 대여 시간은 몇 시간인가?”를 물었다. 학생은 그래프에서 대략적인 위치를 먼저 찾은 뒤 식에 요금을 대입하여 시간을 구했다. 구한 시간의 좌표를 다시 그래프에 표시하고, 그 점이 직선 위에 놓이는지 확인했다.

또 다른 변형에서는 기본요금이 없고 시간당 요금만 있는 상황을 제시했다. 학생은 이때 그래프가 원점을 지나야 한다고 말하면서도, 그 이유를 “시간이 0이면 지불할 금액도 0이기 때문”이라고 문장으로 설명했다. 모양을 보고 식을 고른 것이 아니라, 상황의 출발 조건과 변화량을 각각 식에 대응시킨 것이다.

도움 없이 확인한 최종 풀이

수업 끝에는 인천신정중학교가 포함된 생활권의 교통카드 충전 문제를 새로 제시했다. 충전 전 잔액은 2,000원이고, 매번 같은 금액을 충전할 때 충전 횟수와 잔액의 관계를 그래프로 나타내는 문제였다. 학생은 문제를 읽자마자 세로축은 잔액, 가로축은 충전 횟수라고 적었다.

학생은 “충전 횟수가 1번 늘 때 잔액이 일정하게 늘어나는 양이 기울기이고, 충전 횟수가 0번일 때 잔액 2,000원이 y절편”이라고 먼저 설명했다. 그 후 식을 세우고, 충전 횟수 0과 3을 대입해 표의 값과 비교했다. 그래프가 원점을 지나지 않는 이유도 기본 잔액이 이미 있었기 때문이라고 덧붙였다.

이제 학생은 그래프의 방향만으로 식을 확정하지 않았다. 문장에서 시작값과 변화량을 따로 찾아 식에 넣고, 좌표를 대입해 그래프와 식이 함께 맞는지 검산했다. 청학지구중2수학과외가 아니라 청학지구중2수학과외라는 검색어를 찾는 보호자에게도 중요한 장면은 바로 이런 첫 판단의 변화다. 청학지구과외에서도 일차함수 문제를 풀 때 학생이 스스로 출발점과 변화량을 구분하는지 확인할 수 있다.