청학지구 중3수학과외

청학지구 중3수학과외에서 살펴본 접선 길이의 첫 판단

청학지구과외 수업에서 원의 성질 서술형 답안을 함께 확인했습니다.

답안의 마지막 줄보다 먼저 볼 것

문제에는 원 O에 바깥점 P가 있고, P에서 원에 그은 두 접선이 각각 A, B에서 만난다고 되어 있었습니다. PA의 길이가 7cm일 때 PB의 길이를 구하는 문제였습니다. 학생은 답안에 다음과 같이 적었습니다.

“PA와 PB는 접선이므로 PA=PB이다. 따라서 PB=7cm이다.”

결론은 맞았습니다. 그러나 완성된 풀이를 뒤에서부터 읽어 보니, 학생은 그림의 A와 B가 정말 P에서 그은 두 접선의 접점인지 확인하지 않은 채 성질을 바로 적용했습니다. 서술형에서 결론만 우연히 맞는 것과 조건을 확인하여 맞히는 것은 다릅니다.

학생은 처음 그림을 읽을 때 P와 원의 중심 O를 연결하고, A와 B를 원 위의 점으로 표시했습니다. 하지만 PA와 PB가 원에 닿는 선분이라는 표시, 즉 접점 A와 B를 구분하는 표시를 하지 않았습니다. 그 뒤 ‘접선 두 개’라는 문장만 보고 PA=PB를 적었습니다.

계산이 아니라 접점 표시에서 시작된 오류

가장 먼저 어긋난 판단은 PA와 PB가 어떤 선분인지 확인하지 않고 접선의 길이 관계를 사용한 것입니다. 뒤의 7을 옮기는 계산에는 문제가 없었습니다. 따라서 전체 풀이를 다시 고치는 대신, 성질을 쓰기 직전의 행동 하나만 바꾸었습니다.

먼저 문제의 점 P를 찾고, P에서 원에 닿는 두 선분을 따라가며 접점을 각각 A, B로 표시합니다. 그 다음에야 두 선분이 같은 바깥점 P에서 출발한 접선인지 확인하고 다음 식을 씁니다.

• P에서 출발하는 첫 번째 접선의 길이: PA
• P에서 출발하는 두 번째 접선의 길이: PB
• 같은 점 P에서 그은 두 접선이므로 PA=PB
• PA=7cm이므로 PB=7cm

이렇게 고친 뒤 학생은 기존의 계산 부분은 그대로 두고, 식 앞에 “A와 B는 P에서 그은 두 접선의 접점이다”라는 조건을 덧붙였습니다. 핵심은 그림에 원이 있다는 사실이 아니라, 두 선분이 같은 한 점에서 출발하여 원에 각각 닿는지를 먼저 확인하는 것이었습니다.

모양을 바꾼 새 문제에서 다시 찾기

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 표현을 바꾸었습니다. 원 안에 중심 O가 표시되어 있고, 바깥점 Q에서 원에 닿는 선분이 QX, QY로 그려진 그림을 제시했습니다. 이번에는 QX의 길이를 알려 주지 않고, 두 접선의 길이를 각각 x+3, 2x-5로 나타낸 뒤 x를 묻는 문제였습니다.

학생은 처음에는 식부터 쓰려다가 멈추고, 그림에서 Q를 두 선분의 공통 출발점으로 동그라미 표시했습니다. 이어 X와 Y가 각각 원에 닿는 점인지 확인한 뒤에야 다음과 같이 적었습니다.

“Q에서 원에 그은 두 선분 QX, QY가 각각 접선이므로 QX=QY이다. 따라서 x+3=2x-5이다.”

이 문제에서 중요한 변화는 숫자가 아니라 식의 모양입니다. 한쪽 길이가 바로 주어진 문제가 아니었고, 길이가 문자식으로 제시되었습니다. 그래도 학생은 계산보다 먼저 같은 바깥점과 두 접점을 확인했습니다. 이 범위에서는 접선의 길이가 같다는 관계만 사용하므로, 식을 정리하는 다른 공식이나 원의 다른 성질을 끌어오지 않았습니다.

힌트 없이 조건을 다시 대조한 장면

마지막에는 도움 없이 새 그림을 제시했습니다. 바깥점 R에서 원에 닿는 두 선분이 RM, RN으로 표시되고, RM=11cm라고 주어졌습니다. 질문은 RN의 길이를 묻는 대신 “두 접선의 길이가 같은 이유를 한 문장으로 쓰시오”였습니다.

학생은 먼저 M과 N을 원 위의 접점으로 표시하고, R을 두 선분의 공통 출발점으로 확인했습니다. 그런 다음 다음과 같이 답했습니다.

“RM과 RN은 같은 점 R에서 원에 그은 두 접선의 선분이므로 RM=RN이다. 따라서 RN=11cm이다.”

검산할 때도 단순히 11이라는 숫자만 다시 보지 않았습니다. ‘M과 N이 접점인가, 두 선분이 R에서 출발하는가’라는 원래 조건과 결론을 대조했습니다. 조건이 유지되므로 RM=RN, RN=11cm라는 결론이 성립한다고 설명했습니다. 이처럼 청학지구중3수학과외에서는 한 점에서 그은 두 접선의 길이 관계를 사용할 때, 계산 전 접점과 공통 출발점을 스스로 확인하는지까지 답안에서 점검합니다.