연수지구 중등수학과외

연수지구중등수학과외, 닮음비 방향을 바꿔도 19에 대응하는 길이가 38인지 확인하기

닮은 두 삼각형에서 대응하는 한 변의 길이가 작은 삼각형 3, 큰 삼각형 6이고, 작은 삼각형의 다른 변 19에 대응하는 큰 삼각형의 길이를 구하는 문제를 생각해 보겠습니다. 답을 정하는 조건은 3과 6이 같은 위치의 대응변이라는 점입니다. 작은 것에서 큰 것으로 갈 때 길이가 2배가 되므로 19에 대응하는 길이는 19×2=38입니다. 중등 후반의 닮음 단원에서는 이 기본 관계를 설명할 수 있어도, 비례식에 쓰는 삼각형의 순서가 바뀌면 닮음비의 방향까지 바꿔야 한다는 조건을 혼자 적용하는지 따로 살펴볼 필요가 있습니다.

대응 꼭짓점과 변을 같은 줄에 놓아 38이 되는 이유 확인하기

먼저 두 삼각형의 대응 꼭짓점을 같은 순서로 적고, 대응변을 한 줄씩 짝지어 씁니다. 그중 길이 3인 작은 삼각형의 변과 길이 6인 큰 삼각형의 변을 같은 줄에 표시하면, 작은 것 : 큰 것은 3:6=1:2가 됩니다. 19도 작은 삼각형 쪽의 길이이므로 큰 삼각형 쪽 미지수를 x라 두어 3:6=19:x로 세울 수 있습니다. 3x=6×19=114, 따라서 x=38입니다. 또는 6÷3=2를 먼저 구해 19×2=38로 계산해도 됩니다. 여기서 38은 숫자만의 답이 아니라 작은 삼각형의 길이 19에 대응하는 큰 삼각형의 변의 길이라는 의미를 함께 확인합니다.

교정할 때는 ‘닮음비를 썼다’고만 확인하지 않고 분자와 분모의 길이가 각각 어느 삼각형에서 왔는지 화살표로 표시합니다. 예를 들어 3:6=19:x에서는 왼쪽 항과 오른쪽 항 모두 작은 것 : 큰 것의 방향입니다. 만약 3:6=x:19처럼 같은 방향을 지키지 못했다면 x=9.5가 되어, 큰 삼각형의 대응변이 작은 쪽 19보다 짧아지는 모순이 생깁니다. 이 문제에서는 6이 3보다 크므로 대응하는 큰 삼각형의 길이도 19보다 커야 한다는 크기 비교가 간단한 검산이 됩니다.

순서를 뒤집은 비례식에서는 2:1을 써야 하는 까닭

비교 문제는 새 길이를 추가한 문제가 아니라, 작은 삼각형과 큰 삼각형을 쓰는 순서를 뒤집어 비례식을 세우는 조건입니다. 유지되는 사실은 두 삼각형이 닮았고 19에 대응하는 큰 삼각형의 길이가 38이라는 점입니다. 달라지는 점은 비의 방향입니다. 큰 것 : 작은 것으로 적으면 6:3=2:1이고, 이에 맞추어 x:19=6:3 또는 x:19=2:1로 써야 합니다. x=38을 대입하면 38:19=2:1이므로 식이 성립합니다. 순서가 바뀌었다고 답까지 달라지는 것은 아닙니다. 같은 두 대응변을 비교하되 분자와 분모가 함께 바뀌었으므로, 구한 길이는 여전히 38입니다.

이 단계에서는 먼저 정답이나 식의 방향을 알려 주기보다, 기본 문제와 비교 문제에서 달라진 조건을 표시하게 합니다. 막힌 경우에만 “분자의 길이는 모두 같은 삼각형에서 골랐나요?”라고 짧게 묻습니다. 이 질문은 답을 대신 주기 위한 것이 아니라, 6과 x를 큰 삼각형 쪽에, 3과 19를 작은 삼각형 쪽에 일관되게 놓았는지 확인하는 기준입니다. 연수지구중등수학과외 수업에서도 교사가 질문을 준 뒤의 판단과 질문 없이 처음 쓴 식을 구분해 보면, 조건을 읽는 단계와 비례식을 적용하는 단계 중 어느 부분을 더 확인해야 하는지 드러납니다.

도움 없이 첫 식을 선택하는지로 다음 적용 범위 정하기

다음 확인에서는 같은 길이 관계를 두고 큰 삼각형을 먼저 쓰는 비례식을 학생이 스스로 선택하게 합니다. 확인할 것은 답 하나만이 아닙니다. 6:3=2:1이라고 방향을 바꾸었는지, x:19=2:1처럼 같은 삼각형의 길이를 각 항에 맞춰 놓았는지, 마지막에 38:19=2:1로 대입 검산하는지를 함께 봅니다. “큰 삼각형을 먼저 써도 구한 길이는 같나요?”라는 질문에는 단순히 “같다”가 아니라, 양쪽 항의 순서를 모두 뒤집었기 때문에 대응 관계와 길이는 변하지 않는다고 근거를 말할 수 있어야 합니다.

기본 풀이에서는 3:6=19:38을 설명했지만 비교 풀이의 첫 단계에서 멈춘다면, 닮음 자체를 처음부터 반복하기보다 두 과제의 비 방향을 나란히 쓰는 확인이 우선입니다. 반대로 바뀐 방향과 2:1을 표시하고도 곱셈 과정에서 흔들린다면 3x=114 또는 38:19=2:1의 계산을 따로 점검합니다. 이렇게 표시한 조건, 처음 세운 식, 대입 결과를 함께 남기면 이후 변형 문제에서 닮음비의 기준 방향을 스스로 조절하는지 판단할 수 있습니다.