연수지구 중3수학과외

연수지구 중3수학과외에서 살펴본 접선 길이의 기준

연수지구과외 수업에서 원의 성질 문제를 복습하던 중, 한 학생이 두 문제의 답을 다르게 적어 놓았습니다. 두 문제 모두 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이를 묻고 있었지만, 그림의 방향과 점 이름이 달랐습니다. 금호아파트가 있는 생활권이나 인천신정중학교가 포함된 생활권에서 비슷한 문제를 접하더라도, 그림의 모양보다 먼저 확인해야 할 조건이 있습니다.

나란히 놓은 두 풀이에서 드러난 첫 판단

첫 번째 문제에는 원 밖의 점 P에서 원에 접하는 선분 PA, PB가 그려져 있고 PA=7cm라는 조건이 있었습니다. 문제는 PB의 길이를 물었습니다. 학생은 두 선분이 서로 다른 방향으로 뻗어 있다는 이유로 다음과 같이 적었습니다.

“PA와 PB는 모양이 다르므로 길이도 다르다. 따라서 PB는 구할 수 없다.”

두 번째 문제에서는 점 Q에서 원에 그은 접선이 QC와 QD로 표시되어 있었고, QD=11cm였습니다. 이번에는 학생이 “두 선분이 대칭처럼 보인다”는 이유로 QC=11cm라고 썼습니다. 답 자체는 맞았지만, 첫 문제와 판단 기준이 달랐습니다.

풀이 기록을 다시 읽어 보니, 학생은 선분의 방향이나 그림의 겉모양을 먼저 보았고, 그 선분들이 같은 원에 한 점에서 그은 두 접선인지 표시하지 않았습니다. 표현이 달라졌을 때 공통으로 확인해야 할 접점과 출발점을 지나친 것이 최초의 어긋난 판단이었습니다. 이후 계산이나 숫자 대입에서 생긴 오류가 아니었습니다.

그림보다 먼저 표시한 세 가지

교정에서는 풀이 전체를 다시 쓰지 않고, 첫 줄에 관련된 점만 표시하도록 했습니다. 원 밖의 한 점을 출발점으로 동그라미 치고, 그 점에서 원에 닿는 두 선분의 끝점을 접점으로 표시했습니다. 이어 두 선분이 원과 각각 한 점에서 만나는지 확인했습니다.

• 두 선분의 출발점이 같은가?
• 두 선분이 같은 원에 각각 한 점에서 닿는가?
• 주어진 길이가 두 접선 중 어느 선분에 붙어 있는가?

첫 문제에서는 P가 공통 출발점이고 PA, PB가 같은 원에 닿는 두 접선이므로 관계를 바로 세울 수 있습니다.

PA=PB

따라서 PA=7cm에서 PB=7cm가 됩니다. 두 번째 문제도 Q가 공통 출발점이고 QC, QD가 같은 원에 닿으므로 QD=11cm를 그대로 이용해 QC=11cm라고 판단합니다. 이미 맞게 계산한 숫자는 유지하고, 성질을 적용하기 전에 조건을 표시하는 행동만 고쳤습니다.

배치를 바꾼 문제에서 확인한 관계

며칠 뒤에는 이전 그림을 그대로 보여 주지 않고, 원을 오른쪽에 배치한 문제를 제시했습니다. 원 밖의 점 R에서 두 선분 RE와 RF가 원에 닿고, 이번에는 “두 접선의 길이의 합”을 물었습니다. RF=8cm라는 정보만 주어졌습니다.

학생은 이번에는 그림이 기울어져 있고 한 접선이 위쪽, 다른 접선이 아래쪽에 있다는 점에 흔들리지 않았습니다. 먼저 R을 공통 출발점으로 표시하고 E와 F를 각각 접점으로 적었습니다. 그런 뒤

RE=RF=8cm

를 세우고, 요구된 합을

RE+RF=8+8=16cm

으로 계산했습니다. 이전 문제의 P, A, B 배열을 외워 옮긴 것이 아니라, 점의 이름과 질문 방향이 바뀌어도 같은 출발점에서 그은 두 접선인지 확인해 관계를 세운 것입니다.

힌트 없이 다시 세운 검산

마지막에는 도움을 주지 않고 다음 문제를 풀게 했습니다. 원 밖의 점 S에서 원에 그은 두 접선의 접점을 G, H라 하고, SG와 SH 중 더 긴 선분을 묻는 문제였습니다. 수치 조건은 SG=13cm였습니다.

학생은 “더 긴 쪽을 그림에서 고르지 않고, S에서 같은 원에 그은 두 접선인지 먼저 확인하겠다”고 설명했습니다. S가 공통점이고 SG, SH가 각각 한 점에서 원에 닿으므로

SG=SH

라고 적었습니다. 따라서 두 선분은 모두 13cm이며, 어느 쪽이 더 긴지 따로 고를 수 없다고 결론 내렸습니다. 이어 두 선분의 길이를 같게 놓았을 때 주어진 SG=13cm와 일치하므로 검산도 끝냈습니다.

연수지구중3수학과외에서 이 장면이 중요했던 이유는 공식을 많이 외웠기 때문이 아닙니다. 그림이 회전되거나 점 이름이 바뀌어도 공통 출발점, 같은 원, 두 접점을 스스로 찾아야만 한 점에서 그은 두 접선의 길이 관계를 안정적으로 사용할 수 있기 때문입니다.