연수지구 고2수학과외







경계값을 확인하며 시작하는 정적분 검토
연수지구과외 수업에서 다음 풀이의 마지막 줄부터 확인했다.
\[ \int_{0}^{2}\{3x^2-1\}\,dx +\int_{1}^{3}2x\,dx \]
두 적분은 구간이 다르므로 integrand를 하나의 적분 기호 안에 합칠 수 없다. 다만 각 적분 안에서 상수배와 합·차의 선형성은 적용할 수 있다.
학생 풀이의 오류 장면
학생은 다음과 같이 계산했다.
\[ \int_{0}^{2}(3x^2-1)\,dx+\int_{1}^{3}2x\,dx =\int_{0}^{3}(5x^2-1)\,dx \]
구간이 서로 다른 두 적분을 임의로 합쳤고, 두 번째 항의 integrand도 \(2x\)에서 \(5x^2-1\)로 바꾸어 정적분의 선형성을 잘못 사용했다.
같은 구간 안에서만 선형성 적용하기
항별로 분리할 수 있는 부분
첫 번째 적분은 같은 구간 \([0,2]\)에서 이루어지므로 다음처럼 나눌 수 있다.
\[ \int_{0}^{2}(3x^2-1)\,dx =3\int_{0}^{2}x^2\,dx-\int_{0}^{2}1\,dx \]
두 번째 적분은 별도로 계산한다.
\[ \int_{1}^{3}2x\,dx =2\int_{1}^{3}x\,dx \]
정확한 계산
\[ 3\int_{0}^{2}x^2\,dx-\int_{0}^{2}1\,dx =3\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2}-[x]_{0}^{2} =8-2=6 \]
\[ 2\int_{1}^{3}x\,dx =2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{3} =9-1=8 \]
따라서 전체 값은
\[ 6+8=\boxed{14} \]
선형성 적용 여부를 판단하는 기준
- 같은 적분 구간의 합·차는 하나의 적분으로 묶을 수 있다.
- 같은 구간의 적분은 항별로 나누어 계산할 수 있다.
- 상수배는 적분 기호 밖으로 꺼낼 수 있다.
- 구간이 다르면 먼저 구간을 확인한 뒤 각각 계산해야 한다.
마지막으로 원래 식의 두 적분값이 각각 \(6\), \(8\)인지 대입해 확인하면 결과 \(14\)가 식과 일치한다. 이처럼 정적분에서는 계산보다 먼저 적분구간과 integrand의 구조를 표시해야 한다.