연수지구 중1수학과외

연수지구 중1수학과외에서 다룬 평행선과 엇각의 판단

연수지구과외 수업에서 학생은 인천신정중학교가 포함된 생활권의 단원 마무리 문제를 풀었다. 금호아파트와 선학동행정복지센터 인근 생활권에서 자주 접할 수 있는 길의 방향을 떠올리며, 그림 속 두 직선이 평행할 때 생기는 각의 관계를 확인하는 문제였다. 문제에는 평행한 두 직선과 하나의 가로지르는 직선이 그려져 있었고, 한 각의 크기가 68도로 표시되어 있었다. 질문은 표시되지 않은 엇각의 크기를 구하고, 그 이유를 문장으로 설명하라는 내용이었다.

그림을 읽기 전에 생긴 한 줄의 오류

학생은 그림을 보자마자 공책에 “엇각이므로 68도”라고 적었다. 답 자체는 맞을 가능성이 있었지만, 그 순간에는 위쪽 직선의 왼쪽 각과 아래쪽 직선의 오른쪽 각이 실제로 엇각인지 확인하지 않았다. 앞에서 풀었던 그림의 모양을 기억해 비슷한 위치를 그대로 대응시킨 것이 최초의 어긋난 판단이었다. 그림이 시계 방향으로 기울어져 있고 점 이름도 달라져 있었기 때문에, 이전 문제에서 외운 위치와 현재 그림의 각 위치가 일치하지 않았다.

학생에게 곧바로 새로운 풀이법을 여러 개 제시하지 않고, 방금 적은 문장 앞에 질문 하나를 덧붙이게 했다. “두 직선은 평행한가, 두 각은 가로지르는 직선의 서로 반대쪽에 있는가?”라고 쓴 뒤 그림에서 평행 표시를 두 직선에 각각 동그라미로 표시했다. 이어 가로지르는 직선을 한 줄로 굵게 그리고, 주어진 68도 각과 찾는 각을 각각 색칠했다. 두 각이 가로지르는 직선의 양쪽에 있고 평행선 사이에 놓였다는 사실을 확인한 뒤에야 “서로 엇각이므로 크기가 같다”라고 문장을 완성했다. 처음의 계산 결과는 유지하되, 그 결과가 성립하는 그림의 조건을 먼저 확인하도록 고친 것이다.

숫자가 아닌 질문의 방향을 바꿔 다시 보기

다음 문제에서는 숫자를 단순히 바꾸지 않았다. 이번에는 그림에 74도라는 각이 직접 적혀 있지 않고, “각 ㄱ과 각 ㄴ이 엇각일 때 각 ㄱ의 크기를 설명하라”는 문장으로 제시되었다. 학생은 문장에서 먼저 두 각의 위치를 찾아 그림에 ㄱ과 ㄴ을 표시했다. 그 뒤 “각 ㄱ은 어느 직선과 가로지르는 직선이 만나는 곳에 있는가?”를 적고, 각 ㄴ과 서로 반대편에 놓였는지 확인했다.

또 다른 형태에서는 도형을 180도 돌린 그림에 점 이름이 순서 없이 표시되어 있었다. 학생은 점 이름만 보고 대응하려 하지 않고, 두 평행선 사이에 있는 각인지부터 살폈다. 그림을 돌려 보지 않고도 가로지르는 직선을 기준으로 왼쪽과 오른쪽을 나누어 표시하자, 이름이 달라도 두 각이 엇각이라는 사실을 찾을 수 있었다. “그림의 방향이나 점 이름은 달라도 평행선 사이에서 가로지르는 직선의 반대편에 있으면 엇각이다”라고 자신의 말로 설명했다.

표시를 가린 뒤에도 남은 판단

마지막 독립 문제에서는 각의 숫자와 풀이 힌트를 가리고, 두 평행선의 표시와 물음표만 남겼다. 학생은 먼저 문제 문장을 읽고 “구해야 할 각과 주어진 각이 같은 가로지르는 직선에 의해 만들어졌는가?”를 확인했다. 이어 두 각을 선으로 연결해 평행선 사이에 놓인 위치를 비교하고, 서로 반대편이라는 근거를 공책에 적었다.

두 직선에 평행 표시가 있고, 두 각은 그 사이에 있으며 가로지르는 직선의 서로 반대쪽에 있다. 따라서 두 각은 엇각이고 크기가 같다. 구한 각의 값을 원래 표시된 각과 비교하면 68도와 일치한다.

학생은 이번에는 그림의 모양을 이전 문제와 맞추려 하지 않고, 평행 표시와 두 각의 위치를 순서대로 확인했다. 답을 쓴 뒤에는 원래 조건에 다시 대입해 같은 크기가 되는지도 스스로 검산했다. 연수지구중1수학과외에서 확인한 변화는 단순히 정답을 맞힌 것이 아니라, 표현이 문장으로 바뀌거나 도형의 방향과 점 이름이 달라져도 평행선과 엇각의 정의를 근거로 풀이를 다시 세운 점이었다.