수성동 중등수학과외

수성동중등수학과외, 12·16 직각삼각형에서 빗변과 직각변 식을 구분해 확인하기

피타고라스 정리에서는 세 변에 모두 제곱이 들어가므로, 계산 모양만 보고 더하기를 고르면 실수가 생기기 쉽습니다. 이번 수업의 기본 문제는 두 직각변의 길이가 12와 16일 때 빗변을 구하는 것입니다. 직각의 맞은편에 있는 변이 빗변이라는 조건을 먼저 표시하면, 빗변을 c라 하여 12²+16²=c²로 쓸 수 있습니다. 반면 비교 문제는 빗변이 20, 한 직각변이 12일 때 다른 직각변을 구하므로 모르는 변의 위치가 달라집니다. 수성동중등수학과외에서는 답만 맞히게 하기보다 말한 내용, 삼각형에 표시한 변, 세운 식이 같은 뜻인지 함께 살펴보는 방식이 필요합니다.

직각의 맞은편을 찾아 기본 문제의 식 세우기

그림에서 직각 표시가 있는 꼭짓점을 먼저 찾고, 그 꼭짓점과 닿지 않는 변을 굵게 표시합니다. 이 변이 빗변입니다. 정사각형 넓이 그림으로 보면 각 변의 길이를 제곱한 값은 그 변 위 정사각형의 넓이이고, 두 직각변 위 넓이의 합이 빗변 위 넓이와 같아집니다. 따라서 12²+16²=c², 즉 144+256=400=c²입니다. 길이는 양수이므로 c=20입니다. 여기서 ‘직각의 맞은편 변은 어느 변인가요?’라는 짧은 질문에 빗변을 가리키고, 식의 c²도 같은 변에 적는지 확인합니다. 20²=400이고 12²+16²도 400이므로 원래 관계에 대입한 검산까지 맞습니다.

직각변을 구할 때 더하기 식을 어떻게 고치는가

비교 문제에서는 빗변 20이 이미 주어지고, 한 직각변은 12이며 다른 직각변을 x라고 둡니다. 빗변은 여전히 직각의 맞은편이므로 식의 한쪽에 20²를 먼저 적어 12²+x²=20²가 됩니다. 이때 x를 구하는데도 12²+20²=x²처럼 두 제곱을 더했다면, 모르는 변이 빗변일 때의 식을 그대로 옮긴 경우입니다. 144+x²=400에서 양쪽에서 144를 빼면 x²=256, 따라서 x=16입니다. 빗변의 제곱이 가장 큰 값이라는 관계도 400이 144와 256의 합이라는 계산과 일치합니다. 수정 전 식을 지우기보다 남겨 두고, 왜 더하기가 아니라 빼기로 바뀌었는지 ‘모르는 변이 빗변인가, 직각변인가’에 연결해 말하게 합니다.

힌트 없이 같은 구분을 다시 확인하는 기준

확인 단계에서는 먼저 답이나 풀이 방향을 알려 주지 않고, 빗변 20과 직각변 12가 주어진 문제를 혼자 풀게 합니다. 12²+x²=20²를 세운 뒤 x²=20²-12²=400-144=256, x=16으로 이어지는지 봅니다. 특히 16만 적었는지보다, 직각 표시와 빗변 표시가 식의 20²와 연결되는지, 빼는 이유를 설명하는지가 중요합니다. 두 질문에 근거를 들어 답하고 비교 문제를 스스로 수행한다면 다음 계산으로 넘어갈 수 있습니다. 반대로 빗변은 맞게 가리키지만 식에서 다시 더하기를 선택한다면, 정사각형 넓이 그림에 144와 256을 적어 어느 넓이가 400이 되는지 한 번 더 비교하며 식과 그림의 연결을 확인합니다.