범물동 고2수학과외
한 점에서 나눈 정적분, 왜 같은 값일까?
학생은 다음 식을 보고 중간점 c를 기준으로 구간을 나누는 과정에서 멈췄다.
\[ \int_a^b f(x)\,dx \] 단, \(a<c<b\)일 때 \[ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx \]
오류는 계산보다 앞에서 시작된다
처음에는 \(c\)가 두 구간에 모두 들어가므로 함수값이나 넓이가 두 번 더해진다고 생각했다. 그래서 한쪽 식을 빼거나, 중간점을 포함하지 않도록 부등호를 조정하려 했다.
하지만 정적분은 구간의 끝점 한 개에서 생기는 값만으로 결정되지 않는다. 한 점의 넓이는 0이므로, 구간을 \([a,c]\)와 \([c,b]\)로 나누어도 전체 넓이는 변하지 않는다.
구간합 성질로 교정하기
분할 조건 확인
먼저 반드시 \(a<c<b\)인지 확인한다. 이 조건이 맞으면 정적분의 구간합 성질에 따라 다음이 성립한다.
\[ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx \]
두 적분에서 \(x=c\)가 공통 끝점으로 나타나지만, 이는 중복 계산이 아니다. 정적분은 구간 전체의 누적량을 다루며 단일 점은 누적량에 영향을 주지 않는다.
두 중간점으로 확장하기
이번에는 \(a<c<d<b\)라고 하자. 구간은 세 부분으로 나뉜다.
\[ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx +\int_c^d f(x)\,dx +\int_d^b f(x)\,dx \]
따라서 중간점이 여러 개일 때도 순서대로 구간을 나누어 더하면 된다. 단, 중간점의 순서와 구간의 방향을 바꾸지 않아야 한다.
교정 전후 풀이 비교
| 구분 | 풀이 | 판단 |
|---|---|---|
| 교정 전 | \(\int_a^b f(x)\,dx\)에서 \(c\)가 중복되므로 한 부분을 제외한다. | 끝점 하나가 넓이를 중복시킨다고 잘못 판단함 |
| 교정 후 | \(\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx\) | 구간합 성질을 정확히 적용함 |
최종 확인 문제
다음 보기에서 올바른 식을 고르자. \(1<3<5\)이고 \(f\)가 해당 구간에서 적분 가능하다고 하자.
- \(\displaystyle \int_1^5 f(x)\,dx=\int_1^3 f(x)\,dx+\int_3^5 f(x)\,dx\)
- \(\displaystyle \int_1^5 f(x)\,dx=\int_1^3 f(x)\,dx-\int_3^5 f(x)\,dx\)
- \(\displaystyle \int_1^5 f(x)\,dx=\int_1^3 f(x)\,dx+\int_4^5 f(x)\,dx\)
정답은 1번이다. 분할점은 \(3\)이며, 두 구간 \([1,3]\), \([3,5]\)가 원래 구간 \([1,5]\)을 빠짐없이 나눈다.
범물동에서 이 개념을 복습할 때도 먼저 \(a<c<b\) 조건을 확인하고, 끝점의 공유는 중복 계산이 아니라는 점을 기억하면 된다. 이러한 구간 분할을 포함한 수능형 학습은 대구과외에서도 풀이 근거를 말로 설명하는 방식으로 점검할 수 있다.