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범물동 고1수학과외

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범물동 고1수학과외, 원과 직선의 위치 관계를 계산 구조로 확인한 사례

학생은 원과 직선의 교점을 구하는 문제에서 좌표를 각각 계산한 뒤 후보를 여러 개 만들었다. 그러나 직선이 원을 가르는지, 접하는지, 만나지 않는지를 먼저 판단하지 않아 계산 시간이 길어졌고, 교점이 하나인 상황에서도 두 점을 찾으려 했다.

교점의 개수보다 먼저 본 판별식

식 \(x^2+y^2=5\), \(y=x+1\)이 주어졌을 때 학생은 직선의 식을 원의 식에 대입했다.

\(x^2+(x+1)^2=5\)에서 \(2x^2+2x-4=0\), 즉 \(x^2+x-2=0\)을 얻는다. 판별식은 \(1+8=9>0\)이므로 서로 다른 두 교점이 생긴다.

이후 풀이에서는 교점 좌표를 끝까지 계산하기보다, 대입 후 만들어지는 이차방정식의 판별식으로 위치 관계를 먼저 결정하도록 교정했다. 판별식이 양수이면 두 점, 0이면 접점 하나, 음수이면 교점이 없다는 기준을 문제 옆에 짧게 적었다.

질문이 바뀌어도 같은 기준 적용하기

다음에는 원 \(x^2+y^2=9\)와 직선 \(y=mx+3\)이 한 점에서 만나는 \(m\)의 조건을 살폈다. 직선을 원에 대입하면

\((1+m^2)x^2+6mx=0\)

이 된다. 이때 \(1+m^2>0\)이므로 식은 \(x\{(1+m^2)x+6m\}=0\)으로 정리된다. 두 근이 하나로 겹치려면 두 번째 근도 \(0\)이어야 하므로 \(m=0\)이다. 실제로 \(m=0\)이면 직선 \(y=3\)은 원에 접한다.

문제에서 교점 좌표를 요구하지 않더라도, 직선의 대입 결과가 만드는 이차방정식의 판별식이나 중근 조건을 먼저 확인한다.

마지막에는 같은 원과 직선의 중심에서 직선까지의 거리를 이용해 확인했다. \(m=0\)일 때 직선 \(y=3\)은 중심 \((0,0)\)에서의 거리가 \(3\)이고 원의 반지름도 \(3\)이므로 접한다. 대입 풀이와 거리 판단이 같은 결론을 내리는지 확인하면서 계산 전에 위치 관계를 판단하는 습관을 세웠다.

범물동 고1수학과외 학부모 후기

숙제를 끝낸 뒤 노트를 살펴보니, 계산에서 자꾸 놓치는 부분을 짧게 적어 둔 흔적이 보이더라고요. 그냥 틀린 문제를 넘긴 게 아니라 어떤 계산에서 반복되는지 자기 말로 남겨 놓았더라고요. 확인하지 못한 곳에는 따로 표시도 해 두었고요. 예예전에는 다음에 볼 부분을 따로 표시하는 일이 없어서, 다시 펼치면 처음부터 문제를 훑곤 했거든요. 그런데 새 수학 노트로 바꾼 날에는 문제집 뒤쪽에 자주 틀리는 계산 습관을 몇 줄 적어 두었습니다. 범물동 수학과외 이야기를 나누며 준비물을 정리하던 때라 노트를 보게 됐는데, 문제를 푼 흔적보다 이런 메모가 먼저 눈에 띄었어요. 학교 숙제를 마친 뒤에도 같은 식으로 반복되는 계산 실수를 간단히 기록하고, 아직 확인하지 못한 문제에는 표시를 남겨 두었어요. 전에는 지나쳤을 부분을 본인이 다시 찾아 둔 점이 달랐습니다.

★★★★★학부모 후기

방학 첫 주 오후, 다음 일정을 준비하던 아이가 함수 문제 앞에서 연필을 멈추고 그래프를 다시 그리고 있더라고요. 식만 보고 답을 확인하는 줄 알았는데, 새로 그린 그래프를 식 옆에 놓고 두 내용이 같은 조건을 나타내는지 번갈아 살펴봤어요. 전에는 오답을 맞춰 본 뒤에도 어디를 다시 봐야 할지 따로 정해 두지 않았거든요. 이번에는 함수의 식과 그래프를 나란히 두고 비교하는 과정이 꽤 오래 이어져서 그 차이가 눈에 띄었습니다. 범물동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 있었다고 들었지만, 집에서 직접 보니 더 구체적으로 느껴졌어요. 다음 수업 전 교재를 펼쳤을 때도 함수 식과 그래프를 다시 나란히 놓고 확인하고 있었습니다. 처음 문제를 볼 때 남겨 둔 표시도 지우지 않은 채 그대로 두고, 그 부분을 기준으로 두 내용을 맞춰 보고 있더라고요.

★★★★★학부모 후기

시험 범위를 함께 확인하던 날에도 아이는 틀린 풀이를 보여 주기 싫어 답지를 먼저 보려 했는데, 범물동 수학과외 선생님은 평일 저녁 숙제를 펼쳐 보며 준비한 만큼만 차분히 이야기하게 했습니다. 대답을 재촉하지 않고 생각할 시간을 충분히 주셔서 아이도 모르는 부분을 조금씩 질문하기 시작했습니다. 몇 차례 지나자 수업 있는 날의 부담이 줄고 스스로 숙제를 확인하는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기

수행평가 준비와 시험공부가 겹친 주간에도 아이는 다음 진도부터 나가려 했지만, 선생님은 범물동 수업에서 아이와 차분히 이야기를 나누며 오답을 따로 모아 보게 했습니다. 수업이 끝날 때는 그날 다시 확인할 내용을 몇 가지로 줄여 주셔서 부담이 덜했고, 이제는 한 문제에 막혀도 수학 전체를 포기하지 않고 스스로 다시 살펴보는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★★학부모 후기

시험이 끝난 주말에도 아이가 수업에 차분히 참여하는 모습이 기억에 남았습니다. 범물동에서 수학과외를 시작할 때만 해도 틀린 문제를 다시 보거나 답을 확인하는 일을 유난히 싫어했는데, 선생님은 맞힌 문제도 풀이를 짧게 설명하게 하며 이해 여부를 살폈습니다. 요즘은 틀린 이유를 답보다 먼저 생각하려는 모습이 보여 공부를 조금 편하게 받아들이는 것 같습니다.

★★★★★학부모 후기