범물동 고1수학과외







범물동 고1수학과외, 원과 직선의 위치 관계를 계산 구조로 확인한 사례
학생은 원과 직선의 교점을 구하는 문제에서 좌표를 각각 계산한 뒤 후보를 여러 개 만들었다. 그러나 직선이 원을 가르는지, 접하는지, 만나지 않는지를 먼저 판단하지 않아 계산 시간이 길어졌고, 교점이 하나인 상황에서도 두 점을 찾으려 했다.
교점의 개수보다 먼저 본 판별식
식 \(x^2+y^2=5\), \(y=x+1\)이 주어졌을 때 학생은 직선의 식을 원의 식에 대입했다.
\(x^2+(x+1)^2=5\)에서 \(2x^2+2x-4=0\), 즉 \(x^2+x-2=0\)을 얻는다. 판별식은 \(1+8=9>0\)이므로 서로 다른 두 교점이 생긴다.
이후 풀이에서는 교점 좌표를 끝까지 계산하기보다, 대입 후 만들어지는 이차방정식의 판별식으로 위치 관계를 먼저 결정하도록 교정했다. 판별식이 양수이면 두 점, 0이면 접점 하나, 음수이면 교점이 없다는 기준을 문제 옆에 짧게 적었다.
질문이 바뀌어도 같은 기준 적용하기
다음에는 원 \(x^2+y^2=9\)와 직선 \(y=mx+3\)이 한 점에서 만나는 \(m\)의 조건을 살폈다. 직선을 원에 대입하면
\((1+m^2)x^2+6mx=0\)
이 된다. 이때 \(1+m^2>0\)이므로 식은 \(x\{(1+m^2)x+6m\}=0\)으로 정리된다. 두 근이 하나로 겹치려면 두 번째 근도 \(0\)이어야 하므로 \(m=0\)이다. 실제로 \(m=0\)이면 직선 \(y=3\)은 원에 접한다.
문제에서 교점 좌표를 요구하지 않더라도, 직선의 대입 결과가 만드는 이차방정식의 판별식이나 중근 조건을 먼저 확인한다.
마지막에는 같은 원과 직선의 중심에서 직선까지의 거리를 이용해 확인했다. \(m=0\)일 때 직선 \(y=3\)은 중심 \((0,0)\)에서의 거리가 \(3\)이고 원의 반지름도 \(3\)이므로 접한다. 대입 풀이와 거리 판단이 같은 결론을 내리는지 확인하면서 계산 전에 위치 관계를 판단하는 습관을 세웠다.