범물동 중3수학과외

범물 생활권에서 확인한 제곱근의 크기 비교

범물서한화성아파트와 지산신화에덴아파트가 있는 생활권에서 중3 수학 풀이를 살펴보던 중, 제곱근의 근삿값을 이용해 수의 크기를 비교하는 문제를 다뤘습니다. 범물중학교와 범일중학교가 포함된 생활권에서 접할 수 있는 문제라도, 표현이 조금만 달라지면 피근수를 그대로 읽어 버리는 실수가 나타날 수 있습니다. 이번 학습은 제곱근의 근삿값으로 크기를 비교하고, 서로 다른 표현 사이의 관계를 바르게 바꾸는 데 초점을 두었습니다.

식보다 먼저 나타난 판단

문제는 √18과 4.3 중 어느 수가 큰지 비교하라는 것이었습니다. 학생은 √18을 보고 “18은 4.3보다 크니까 √18도 4.3보다 크다”라고 적었습니다. 이어서 답을 √18이라고 표시했지만, 이 판단은 제곱근 기호 안의 수와 제곱근의 값을 같은 위치에서 비교한 데서 시작된 오류였습니다.

√18에서 비교해야 할 것은 18 자체가 아니라, 제곱해서 18이 되는 수의 크기이다.

풀이 기록을 다시 보면 학생은 4.3을 기준으로 삼지 않았고, √18이 어느 두 수 사이에 있는지도 확인하지 않았습니다. 따라서 뒤의 계산이 틀린 것이 아니라, 처음부터 비교 대상의 의미를 잘못 읽은 것이 핵심이었습니다.

이웃한 제곱수로 범위를 좁히기

교정에서는 다른 계산을 덧붙이지 않고, 잘못된 첫 판단 하나만 바꾸었습니다. 18과 가까운 이웃한 제곱수인 16과 25를 찾았습니다.

16＜18＜25이므로 양의 제곱근의 크기를 비교하면

4＜√18＜5

입니다. 여기서 √18의 값을 소수로 대략 나타내면 4와 5 사이에 있어야 합니다. 이제 4.3과 비교하려면 4.3을 제곱해 봅니다.

4.3²＝18.49

18＜18.49이므로 √18＜4.3입니다. 따라서 학생이 처음 고른 방향과 반대로 √18이 더 작다가 정답입니다. 이미 적어 둔 4.3² 계산은 그대로 활용하고, √18의 위치를 먼저 정한 부분만 바로잡았습니다.

표현을 바꾼 문제에서 관계 찾기

다음에는 이전 문제의 숫자나 배열을 반복하지 않고, 그림으로 제시된 길이를 비교했습니다. 한 선분의 길이는 √27cm로 표시되어 있고, 다른 선분은 5.1cm로 표시되어 있었습니다. 학생은 처음에 √27을 “27cm 정도”라고 읽지 않고, 먼저 양쪽 수를 이웃한 제곱수 사이에 배치했습니다.

25＜27＜36이므로

5＜√27＜6

입니다. 5.1과 비교하기 위해 5.1²을 계산하면 26.01입니다. 그런데 27＞26.01이므로 √27＞5.1입니다. 이번에는 길이 그림에서 출발했지만, 실제로 사용한 기준은 같았습니다. 피근수 27과 5.1을 직접 비교하지 않고, 27이 5.1²보다 큰지 확인해 제곱근의 크기 관계로 바꾸었습니다.

• √27은 5와 6 사이에 있다.
• 5.1은 그 범위 안에 있으므로 제곱하여 비교할 수 있다.
• 27＞5.1²이므로 √27＞5.1이다.

힌트 없이 설명한 마지막 확인

며칠 뒤에는 도움 없이 다음 문제를 풀었습니다.

어느 수직선에서 P의 위치는 √45, Q의 위치는 6.7이다. P와 Q 중 왼쪽에 놓이는 점을 고르고 이유를 설명하라.

학생은 먼저 36＜45＜49를 적어 √45가 6과 7 사이임을 확인했습니다. 이어서 6.7²＝44.89를 계산하고, 45＞44.89이므로 √45＞6.7이라고 설명했습니다. 따라서 수직선에서 더 왼쪽에 놓이는 점은 Q입니다.

마지막으로 계산 결과가 원래 범위와 맞는지도 확인했습니다. √45는 6과 7 사이이고, 6.7보다 크다고 했으므로 약 6.708 정도라는 판단은 이 범위를 벗어나지 않습니다. 학생은 표현이 식이든 길이든 수직선이든, 피근수를 소수처럼 읽지 않고 이웃한 제곱수와 비교 대상의 제곱을 이용해 관계를 스스로 복원했습니다. 이런 식의 점검은 범물과외 및 범물중3수학과외에서 제곱근 비교를 다룰 때 중요한 풀이 기록이 됩니다.