수곡동 중등수학과외

수곡동중등수학과외, 두 변 21·22와 사이각 60°로 합동을 확인하는 방법

삼각형의 합동에서는 주어진 수의 개수보다 ‘어느 자리에 주어진 조건인가’를 읽는 일이 중요합니다. 두 삼각형에 각각 길이 21, 22인 두 변과 그 사이각 60°가 주어졌다면, 구하는 것은 두 삼각형의 모양과 크기가 완전히 같은지입니다. 길이 21인 변, 길이 22인 변, 그리고 그 두 변이 만나는 꼭짓점의 60°를 대응 순서대로 비교하면 두 변과 그 사이각이 모두 일치합니다. 따라서 이 경우에는 SAS 합동 조건을 만족하여 두 삼각형은 합동이라고 판단합니다. 기본 문제를 설명할 수 있어도 각도 조건이 사라진 문제에서 같은 결론을 내릴 수 있는지는 별도로 살펴볼 필요가 있습니다.

두 변의 ‘사이각’이 어디인지 먼저 표시합니다

수곡동중등수학과외에서는 길이만 동그라미 치는 데서 멈추지 않고, 두 변 21과 22가 만나는 꼭짓점을 같은 색으로 표시하게 합니다. 그 꼭짓점에 적힌 60°가 바로 두 변 사이의 각입니다. 예를 들어 한 삼각형에서 21과 22가 만나는 각이 60°이고, 다른 삼각형에서도 대응하는 두 변 사이의 각이 60°라면 조건의 순서까지 맞습니다. 이때 “주어진 60°는 두 변 사이의 각인가요?”라고 짧게 확인하면, 변의 끝에 있는 다른 각을 사이각으로 잘못 고르는 일을 줄일 수 있습니다.

SAS는 두 변의 길이만 각각 같다는 뜻이 아닙니다. 첫째 변 21, 둘째 변 22, 그 사이각 60°가 함께 정해져야 삼각형의 벌어진 정도까지 하나로 정해집니다. 자와 각도기를 써서 생각해 보면 길이 21인 선분과 22인 선분을 한 점에서 60°로 벌린 뒤 양 끝점을 이으면 한 가지 모양이 만들어집니다. 다른 삼각형도 같은 세 조건을 가지므로 겹쳐 놓을 수 있습니다. 길이는 cm처럼 단위가 제시된 경우 두 길이의 단위도 같게 확인하며, 각은 60°처럼 도 단위로 읽습니다.

60°를 지운 비교 문제에서는 결론이 달라집니다

비교 문제에서는 길이 21, 22라는 두 변의 조건은 유지되지만, 사이각 60°가 삭제됩니다. 이때 두 변만 같으니 앞 문제처럼 합동이라고 쓰고 싶어질 수 있습니다. 그러나 두 선분이 만나는 각을 60° 대신 더 작게 또는 더 크게 잡을 수 있으므로, 세 번째 변의 길이와 삼각형의 모양이 달라질 수 있습니다. 예를 들어 두 변의 길이를 그대로 21과 22로 두고 사이각을 60°가 아닌 다른 각으로 만들면, 두 변의 끝점을 잇는 선분도 달라집니다. 따라서 두 삼각형이 반드시 겹친다고 확정할 수 없습니다.

여기서 필요한 판단은 ‘두 변이 같으므로 합동’이 아니라 ‘두 변만으로는 각이 정해지지 않는다’입니다. 각 조건을 지운 뒤, 21과 22가 이루는 벌어진 정도를 서로 다르게 그려 보는 활동이 도움이 됩니다. 한 그림에서는 두 변을 가깝게 모으고, 다른 그림에서는 넓게 벌리면 서로 다른 모양의 삼각형이 가능합니다. 이는 계산 실수가 아니라 조건의 부족을 찾아내는 문제이므로, 답은 “합동을 확정할 수 없음”이며 근거는 “사이각이 다른 삼각형을 만들 수 있음”입니다.

풀이의 첫 문장에서 조건 변화를 말하게 합니다

확인은 정답만 쓰게 하기보다 두 과제를 나란히 놓고 시작합니다. 기본 문제에는 ‘21, 22, 사이각 60°’를, 비교 문제에는 ‘21, 22, 사이각 없음’을 적어 보게 합니다. 이어서 기본 문제에서는 SAS 합동 조건을 만족한다고 쓰고, 비교 문제에서는 어떤 조건이 빠졌는지 표시한 뒤 스스로 첫 판단을 선택하게 합니다. 막힌 경우에만 “각도 조건을 없애고 두 변만 남겨도 모양이 정해지나요?”라고 묻고, 답을 먼저 알려 주지는 않습니다.

다음 단계는 비교 문제에서 합동을 확정할 수 없다는 결론과 함께 사이각을 달리한 삼각형이 가능하다는 이유를 말하거나 그림으로 보이는지 확인하는 것입니다. 기본 풀이를 다시 반복해도, 비교 과제에서 삭제된 60°를 찾아내지 못한다면 사이각의 역할을 한 번 더 구분해 볼 필요가 있습니다. 반대로 유지된 두 변과 사라진 각을 각각 표시하고, 그 변화에 맞춰 결론을 바꿀 수 있는지를 통해 새 조건을 적용하는 흐름을 확인할 수 있습니다.