수곡동 중2수학과외
계산보다 먼저 정한 기준이 확률을 바꾼 수업
수곡동과외 수업에서 학생은 확률 문제의 계산 자체보다 ‘전체 경우’를 어디까지 볼 것인지 정하는 데서 자주 멈췄다. 수곡중학교와 청주남중학교가 포함된 생활권의 학습 사례를 살펴보던 중, 용두암현대1차아파트가 있는 생활권에서 일어날 법한 추첨 상황을 문제로 바꾸어 확인했다. 문제는 주머니에 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 있을 때, 공 하나를 꺼내 파란 공이 나오지 않을 확률을 구하는 내용이었다.
학생은 문제에서 ‘파란 공이 나오지 않는다’는 말을 읽고 빨간 공의 개수 3을 먼저 표시했다. 이어 전체 공의 수 5도 적은 뒤, 원하는 경우 3, 전체 경우 5라고 써서 확률을 3/5로 나타냈다. 여기까지는 직접 원하는 경우를 세는 방식으로 정확했다. 그런데 교과서의 다음 문제에서 ‘불량품이 아닐 확률’을 묻자 풀이 방향이 달라졌다.
첫 줄에서 생긴 어긋남
전체 물건 10개 중 불량품이 2개라는 조건을 읽은 학생은 ‘불량품일 확률’을 먼저 구해 2/10이라고 적었다. 문제의 질문은 불량품이 아닐 확률이었지만, 학생은 그 값을 그대로 답으로 옮기려 했다. 계산 실수가 아니라 구한 여사건의 확률을 원래 질문의 확률로 바꾸지 않은 것이 최초의 잘못된 판단이었다.
‘불량품이 아니다’는 ‘불량품’의 반대 사건이므로, 먼저 구한 값은 답이 아니라 답을 찾기 위한 여사건의 확률이다.
교사는 이미 적어 둔 전체 경우 10과 불량품 2라는 표시는 그대로 두고, 질문 문장에 밑줄을 그었다. 그런 다음 학생이 구한 2/10 아래에 ‘불량품’이라고 다시 쓰게 하고, 그 반대인 ‘불량품 아님’을 답 칸에 적게 했다. 교정은 한 가지 행동으로 제한했다. 여사건의 확률을 계산한 뒤에는 반드시 1에서 빼기였다.
학생은 식을 1 - 2/10 = 8/10 = 4/5로 고쳤다. 이어 전체 경우 10개 중 불량품이 아닌 경우가 8개라는 직접 세기와 결과를 비교했다. 두 표현이 모두 4/5가 되자, 1에서 빼는 이유를 “전체 확률 1에서 반대 사건의 확률을 제거하면 질문한 사건만 남기 때문”이라고 자신의 말로 설명했다.
같은 확률을 다른 모양으로 다시 판단하기
다음 문제는 단순히 숫자만 바꾸지 않았다. 빨간 공 2개와 파란 공 1개가 든 상자에서 공을 두 번 꺼내는 상황을 나무그림으로 나타내고, 적어도 한 번 빨간 공이 나올 확률을 구하게 했다. 학생은 직접 경우를 나열하는 대신 첫 번째 선택과 두 번째 선택을 가지로 나누어 나무그림을 그렸다. 빨강-빨강, 빨강-파랑, 파랑-빨강, 파랑-파랑의 네 경로를 표시한 뒤, ‘적어도 한 번 빨강’에 해당하는 세 경로에 동그라미를 쳤다.
이번에는 질문의 방향을 바로 읽었다. 원하는 경우는 세 경로, 전체 경우는 네 경로이므로 확률을 3/4로 적었다. 이어 ‘빨강이 한 번도 나오지 않을 확률’을 먼저 구하는 방법도 선택해 보았다. 빨강이 한 번도 나오지 않는 경로는 파랑-파랑 하나이므로 1/4, 따라서 여사건을 이용하면 1 - 1/4 = 3/4가 된다고 정리했다. 직접 나열한 결과와 여사건 계산 결과가 같은지 확인한 점이 핵심이었다.
힌트 없이 확인한 마지막 문제
수곡동중2수학과외 수업의 끝부분에는 도움을 주지 않고 새로운 상황을 제시했다. 네 장의 카드에 1, 2, 3, 4가 각각 적혀 있고 그중 한 장을 뽑을 때, 짝수가 나오지 않을 확률을 구하는 문제였다. 학생은 먼저 전체 경우를 4개로 정하고, 질문의 반대인 ‘짝수가 나오는 경우’를 2개로 표시했다. 그 뒤 여사건의 확률을 2/4로 계산하고, 답은 1에서 빼야 한다고 스스로 판단했다.
1 - 2/4 = 1/2를 계산한 학생은 직접 확인도 이어 갔다. 짝수가 아닌 카드는 1과 3, 두 장이므로 원하는 경우와 전체 경우의 비는 2/4이며 약분하면 1/2이라고 설명했다. 또한 “2/4는 여사건의 값이라서 그대로 답으로 쓰지 않고 1에서 뺐다”고 말하며, 나무그림 문제에서 사용한 판단과 같은지 점검했다.
- 질문의 사건과 그 반대 사건을 먼저 구분했다.
- 전체 경우의 수를 빠뜨리지 않고 표시했다.
- 여사건을 구했을 때 1에서 빼야 하는지 확인했다.
- 직접 나열한 경우와 여사건 계산 결과를 서로 비교했다.
학생의 최종 풀이에는 정답만 남지 않았다. 어떤 사건을 원하는지, 전체 경우가 무엇인지, 여사건을 이용했다면 왜 1에서 빼는지를 계산 옆에 짧게 적었다. 확률 문제에서 계산 전에 기준을 선택하는 과정이 실제 풀이를 좌우한다는 점을 새 문제에서도 혼자 재현한 장면이었다.