수곡동 고2수학과외







“각이 클수록 넓이도 커진다”는 오답
학생은 두 변의 길이가 각각 6, 8인 삼각형에서 각 θ가 커질수록 넓이도 계속 증가한다고 판단했다. 그러나 θ가 90°를 지나면 넓이는 다시 작아진다. 이 문제를 수곡동과외 수업에서 다시 살펴보며, 계산보다 먼저 넓이와 각의 관계를 확인했다.
하나의 식으로 시작하기
두 변 사이의 끼인각이 θ일 때 삼각형의 넓이는
S = 1/2 × 6 × 8 × sinθ = 24sinθ
따라서 넓이를 결정하는 것은 θ 자체가 아니라 sinθ이다. 0°<θ<180°에서 sinθ의 최댓값은 θ=90°일 때 1이므로, 넓이의 최댓값은
Smax = 24
이다. 즉, 두 변이 고정되었을 때 두 변이 직각을 이룰 때 넓이가 가장 크다.
각의 범위가 제한된 경우
30°≤θ≤60°인 문제
이번에는 같은 두 변을 사용하되 각의 범위를 30°≤θ≤60°로 제한한다.
이 구간에서는 sinθ가 증가하므로 가장 큰 값은 θ=60°에서 나온다.
Smax = 24sin60° = 24×√3/2 = 12√3
두 풀이 비교
| 풀이 | 판단 | 결과 |
|---|---|---|
| 각이 클수록 넓이가 커진다 | 180°에 가까울수록 계속 증가한다고 봄 | 오답 |
| 넓이식 24sinθ를 사용한다 | sinθ의 최댓값과 각의 범위를 함께 확인함 | 정답 |
최종 검증
θ=90°이면 S=24이고, θ=60°이면 S=12√3이다. 실제로 12√3≈20.8이므로 제한된 범위의 최대넓이는 전체 범위에서의 최대넓이 24보다 작다. 따라서 각의 범위가 주어지면 sinθ가 가장 큰 각을 찾아야 하며, 범위에 90°가 포함되는지도 반드시 확인해야 한다.
이 원리는 충북고등학교, 청주중앙여자고등학교 등에서 다루는 삼각함수 활용 문제에서도 그대로 적용할 수 있다.