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수곡동 고2수학과외

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“각이 클수록 넓이도 커진다”는 오답

학생은 두 변의 길이가 각각 6, 8인 삼각형에서 각 θ가 커질수록 넓이도 계속 증가한다고 판단했다. 그러나 θ가 90°를 지나면 넓이는 다시 작아진다. 이 문제를 수곡동과외 수업에서 다시 살펴보며, 계산보다 먼저 넓이와 각의 관계를 확인했다.

하나의 식으로 시작하기

두 변 사이의 끼인각이 θ일 때 삼각형의 넓이는

S = 1/2 × 6 × 8 × sinθ = 24sinθ

따라서 넓이를 결정하는 것은 θ 자체가 아니라 sinθ이다. 0°<θ<180°에서 sinθ의 최댓값은 θ=90°일 때 1이므로, 넓이의 최댓값은

Smax = 24

이다. 즉, 두 변이 고정되었을 때 두 변이 직각을 이룰 때 넓이가 가장 크다.

각의 범위가 제한된 경우

30°≤θ≤60°인 문제

이번에는 같은 두 변을 사용하되 각의 범위를 30°≤θ≤60°로 제한한다.

이 구간에서는 sinθ가 증가하므로 가장 큰 값은 θ=60°에서 나온다.

Smax = 24sin60° = 24×√3/2 = 12√3

두 풀이 비교

풀이판단결과
각이 클수록 넓이가 커진다 180°에 가까울수록 계속 증가한다고 봄 오답
넓이식 24sinθ를 사용한다 sinθ의 최댓값과 각의 범위를 함께 확인함 정답

최종 검증

θ=90°이면 S=24이고, θ=60°이면 S=12√3이다. 실제로 12√3≈20.8이므로 제한된 범위의 최대넓이는 전체 범위에서의 최대넓이 24보다 작다. 따라서 각의 범위가 주어지면 sinθ가 가장 큰 각을 찾아야 하며, 범위에 90°가 포함되는지도 반드시 확인해야 한다.

이 원리는 충북고등학교, 청주중앙여자고등학교 등에서 다루는 삼각함수 활용 문제에서도 그대로 적용할 수 있다.

수곡동 고2수학과외 학부모 후기

주말 오전에 책상 위를 치우다가 아이가 문제집 한쪽을 따로 접어 둔 걸 보게 됐어요. 답을 맞힌 문제들이었는데, 그중에서도 검산을 하지 않은 것만 골라 놓았더라고요. 다 풀었다고 생각한 뒤라 더 의외였어요. 예전에는 정답만 맞으면 거기서 끝내고, 맞고 틀린 표시를 확인한 뒤 다시 펼쳐 보는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이번에는 계산 결과가 맞았는지와 별개로 확인하지 않은 부분을 구분해 둔 모습이 보이더라고요. 수곡동 수학과외 관련 자료를 정리해 두던 중에 본 장면이라 저도 잠깐 손을 멈추고 봤습니다. 이후 다른 문제를 풀 때도 검산이 필요한 것만 따로 골라 표시했어요. 전부 다시 붙잡는 대신 확인할 부분만 남겨 두고 정리를 마쳤고, 답이 맞았다는 이유로 그냥 넘기지는 않더라고요.

★★★★★학부모 후기

학교 보충수업을 다녀온 날, 책과 프린트를 치우던 아이가 해설지와 자기 풀이를 나란히 펴놓고 있더라고요. 답을 맞혔는지부터 보는 게 아니라 두 장을 한 줄씩 살피다가 서로 달라진 부분에서 멈추는 모습이 눈에 띄었어요. 예전에는 그날 배운 내용을 처음부터 끝까지 다시 훑는 식이라 복습할 범위를 스스로 좁히는 모습은 보기 어려웠거든요. 그런데 이번에는 해설지와 풀이를 비교하더니 처음 달라지는 한 줄만 골라서 확인하고 있었습니다. 수곡동 수학과외 이야기를 나누며 집에서 보이는 공부 장면도 유심히 보게 됐는데, 이런 식으로 살피는 과정이 꽤 구체적이었어요. 다음 주말 단어장을 펼쳤을 때도 해설과 자기 풀이가 갈라지는 첫 줄을 먼저 찾아냈어요. 그리고 다시 확인할 곳이 바로 보이도록 그 지점을 정리해 두더라고요. 전에는 그냥 지나쳤을 부분을 찾아 눈앞에 남겨둔 장면이었습니다.

★★★★★학부모 후기

비가 제법 내리던 주말 오후였어요. 아이가 문제를 다 풀고 바로 답지를 찾는 대신, 적어 둔 답 옆을 한참 들여다보더라고요. 무엇을 확인하나 봤더니 단위가 맞는지, 문제에서 정한 범위를 벗어나지 않았는지를 먼저 살피고 있더라고요. 수곡동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면은 꽤 인상적이었어요. 전에는 확인할 게 여러 가지면 중요한 조건과 덜 중요한 부분을 한꺼번에 훑다가 지나치는 일이 있었거든요. 그런데 이번에는 답을 쓴 뒤 문제에 나온 범위와 조건부터 짚어 보게 됐어요. 순서가 달라진 게 눈에 보였습니다. 다른 선택지 문제를 풀 때도 답 아래를 다시 확인하더니, 빠진 조건이 없는지 한 번 더 살펴본 부분을 접어 두었어요. 문제마다 단위나 범위를 먼저 보는 모습이 이어진 게 신기했습니다.

★★★★★학부모 후기

수곡동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 어려운 문제를 만나면 금세 손을 놓아 시험 직전에도 틀린 문제를 다시 보려 하지 않았습니다. 선생님은 숙제와 복습 중 아이 반응을 살피며 같은 내용도 부담 없는 말로 바꿔 설명하고, 억지로 몰아붙이지 않고 수업 흐름을 조절해 주셨습니다. 요즘은 학교에서 돌아와 가방을 내려놓으면 틀린 문제부터 다시 살피고, 시험기간에도 숙제를 시작하는 시간이 눈에 띄게 짧아졌습니다.

★★★★★학부모 후기

수곡동에서 수학 과외를 시작한 뒤 두세 번 수업이 이어지자 아이가 다음 수업을 기다리는 모습을 보였습니다. 낯을 많이 가려 모른다는 말을 어려워했는데, 선생님이 천천히 질문하며 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 주셔서 부담이 줄어든 듯합니다. 숙제도 예전처럼 끝내는 데만 급급하지 않고, 풀이를 다시 살펴보려는 모습이 보여 조금 안심이 됐습니다.

★★★★★학부모 후기

처음에는 낯을 가려 문제만 풀고 풀이를 다시 살피지 않았는데, 두세 번 수업을 하니 다음 수업을 기다리는 모습이 눈에 띄었습니다. 시험 기간에도 선생님은 답을 바로 알려주기보다 어디까지 이해했는지 먼저 물어보고, 무리하지 않게 복습과 숙제를 조절해 주셨습니다. 수곡동에서 과외를 시작한 뒤 아이가 모르는 문제를 그대로 지나치지 않고 질문하려는 점이 가장 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기