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모라동 고2수학과외

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그래프에서 드러난 실근 오답

풀이 기록에는 f(x)=(x-1)²(x+2)의 두 실근 x=1, x=-2를 표시한 뒤, 두 점 모두 x축을 통과하도록 그려져 있었다. 계산한 근은 맞았지만 그래프의 접촉 형태가 틀린 경우다.

근의 중복도와 부호 변화

x=1은 2중근이다. (x-1)²은 x=1의 양쪽에서 모두 양수이므로 이 근을 지나도 함수의 부호가 바뀌지 않는다. 따라서 그래프는 x축에 접한다.

x=-2는 1중근이다. (x+2)의 부호가 바뀌므로 함수의 부호도 바뀌고, 그래프는 x축을 통과한다.

근중복도부호 변화그래프
x=-2홀수 1변함x축 통과
x=1짝수 2변하지 않음x축 접촉

교정 전후의 그래프 비교

잘못 그린 그래프

두 근을 단순히 ‘방정식의 해가 존재하는 x좌표’로만 처리하면 x=-2와 x=1에서 모두 그래프가 x축을 가로지르게 된다. 하지만 근의 중복도는 그래프의 방향을 결정하는 정보다.

올바른 그래프

f(x)의 부호를 구간별로 확인하면

x<-2에서는 음수,   -2<x<1에서는 양수,   x>1에서는 양수이다.

따라서 x=-2에서는 음수에서 양수로 바뀌며 x축을 통과하고, x=1에서는 양수가 계속 유지되며 x축에 닿기만 한다.

새 문제로 최종 확인

g(x)=(x-1)³(x+2)²의 근에서 그래프가 어떻게 움직이는지 판단해 보자.

x=1은 3중근이므로 부호가 바뀌어 x축을 통과한다. x=-2는 2중근이므로 부호가 바뀌지 않아 x축에 접한다. 즉 홀수 중복도는 통과, 짝수 중복도는 접촉이라는 기준이 다시 확인된다.

이 판단은 모라동과외에서 그래프를 암기하기보다 근 주변의 함수 부호를 직접 점검할 때 특히 유용하다.

중간 근거가 빠진 답안을 점검하기

고2 서술형을 준비할 때 답이 맞은 풀이에서 한 줄을 가려 보세요. 앞뒤 식만으로 그 단계가 왜 가능한지 설명되는지 확인하면 생략한 근거를 찾기 쉽습니다. 학교에서 제공한 답안 기준이 있다면 그 요구를 우선하여 필요한 설명을 보완해야 합니다.

한 과목의 표시 방법을 다른 과목에 옮길 때

기호나 표기가 비슷하더라도 과목과 문맥에 따라 가리키는 대상이 달라질 수 있습니다. 새 자료를 볼 때 기호의 정의를 먼저 확인해 보세요. 익숙한 표시라는 이유로 이전 과목에서의 의미를 그대로 적용하지 않았는지 점검하는 과정입니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

고2 점검 기준

실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.

수업 진행 예시

선택 과목: 변화율의 의미

미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.

선택 과목: 확률의 조건

확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

고등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급방문 수업화상 수업
고등33~50만 원30~46만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

학년별 개념과 연습 함께 보기

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모라동 고2수학과외 수업 후기

공부 계획표를 새로 적어보려고 방에 들어갔다가, 아이가 문제를 푼 뒤 바로 답을 확인하지 않고 단위와 범위를 먼저 살피는 모습을 봤어요. 답이 맞는지 보는 것보다 문제에서 요구한 조건이 빠졌는지를 먼저 짚고 있더라고요. 전에는 공부를 마친 뒤 자기 풀이를 다시 들여다보는 일이 거의 없었거든요. 모라동 수학과외에 대해 이야기 나누던 때와 비교해도 눈에 보인 장면은 이런 부분이었어요. 모의고사 해설을 펼쳤을 때도 해설부터 따라가지 않고, 자신이 적은 답 뒤에 범위나 조건이 들어갔는지 다시 확인했습니다. 그리고 그냥 넘어가지 않고 확인한 지점을 자료에 따로 남겨두더라고요._answer?

★★★★★수업 후기

새 단원 진도를 나가던 첫 주에 책상 위 시험지를 보다가 잠깐 멈췄어요. 틀린 문제를 따로 유형별로 옮겨 적은 게 아니라, 원본에 틀린 이유만 짧게 써두었더라고요. 제가 먼저 물어보기도 전이었는데 그런 표시가 남아 있어서 조금 의외였어요. 전에는 복습할 때 자기 답안보다 정답이나 해설부터 펼치는 일이 많았거든요. 그런데 이번에는 해설을 바로 찾기보다 시험지에 적어둔 내용을 먼저 보고, 어디서 다시 살펴봐야 하는지 자기 답과 함께 확인하고 있었습니다. 모라동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이 장면이 계속 생각났어요. 새 모의고사 문제를 읽던 오후에는 같은 시험지에 틀린 까닭을 짧게 남겨두었어요. 나중에 다시 펼쳤을 때 어느 문제부터 이어서 볼지 표시가 남아 있었습니다.

★★★★★수업 후기

시험 일주일 전 저녁에도 아이는 숙제를 미루기보다 책상에 먼저 앉았고, 모라동 수학 선생님과 수업하며 막힌 문제를 표시만 하던 습관도 조금씩 달라졌습니다. 선생님은 질문을 재촉하지 않고 중간중간 편하게 물어보며 스스로 풀 시간을 주셔서, 시험기간에도 평소 공부 흐름을 크게 놓치지 않는 모습이 반가웠습니다.

★★★★★수업 후기

모라동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 맞힌 문제도 풀이를 짧게 설명해보는 습관을 들였습니다. 선생님은 어려운 문제를 오래 붙잡기보다 풀이를 천천히 다시 보게 하고, 실제 생활과 맞지 않는 시험 계획은 함께 조정해 주셨습니다. 시험기간에도 틀린 답보다 왜 틀렸는지를 먼저 생각하려는 모습이 보여 부모로서 마음이 놓였습니다.

★★★★★수업 후기

시험 전날 모라동 집에서 복습 계획을 세우는데, 아이가 해야 할 일이 많다며 자꾸 불안해했습니다. 선생님은 남은 시간과 생활 일정을 살펴 꼭 필요한 내용부터 정하고, 틀린 문제도 처음 어긋난 부분만 차분히 다시 보게 했습니다. 수업 뒤에는 풀이가 막혀도 바로 포기하지 않고, 오늘 배운 내용을 제게 먼저 설명해 주는 날이 생겼습니다.

★★★★★수업 후기

학생별 1:1 수업 안내

수업은 학생별 1:1로 진행하며, 현재 학습 상태와 목표에 따라 수업 내용을 달리합니다.