모라동 고2수학과외







그래프에서 드러난 실근 오답
풀이 기록에는 f(x)=(x-1)²(x+2)의 두 실근 x=1, x=-2를 표시한 뒤, 두 점 모두 x축을 통과하도록 그려져 있었다. 계산한 근은 맞았지만 그래프의 접촉 형태가 틀린 경우다.
근의 중복도와 부호 변화
x=1은 2중근이다. (x-1)²은 x=1의 양쪽에서 모두 양수이므로 이 근을 지나도 함수의 부호가 바뀌지 않는다. 따라서 그래프는 x축에 접한다.
x=-2는 1중근이다. (x+2)의 부호가 바뀌므로 함수의 부호도 바뀌고, 그래프는 x축을 통과한다.
| 근 | 중복도 | 부호 변화 | 그래프 |
|---|---|---|---|
| x=-2 | 홀수 1 | 변함 | x축 통과 |
| x=1 | 짝수 2 | 변하지 않음 | x축 접촉 |
교정 전후의 그래프 비교
잘못 그린 그래프
두 근을 단순히 ‘방정식의 해가 존재하는 x좌표’로만 처리하면 x=-2와 x=1에서 모두 그래프가 x축을 가로지르게 된다. 하지만 근의 중복도는 그래프의 방향을 결정하는 정보다.
올바른 그래프
f(x)의 부호를 구간별로 확인하면
x<-2에서는 음수, -2<x<1에서는 양수, x>1에서는 양수이다.
따라서 x=-2에서는 음수에서 양수로 바뀌며 x축을 통과하고, x=1에서는 양수가 계속 유지되며 x축에 닿기만 한다.
새 문제로 최종 확인
g(x)=(x-1)³(x+2)²의 근에서 그래프가 어떻게 움직이는지 판단해 보자.
x=1은 3중근이므로 부호가 바뀌어 x축을 통과한다. x=-2는 2중근이므로 부호가 바뀌지 않아 x축에 접한다. 즉 홀수 중복도는 통과, 짝수 중복도는 접촉이라는 기준이 다시 확인된다.
이 판단은 모라동과외에서 그래프를 암기하기보다 근 주변의 함수 부호를 직접 점검할 때 특히 유용하다.
중간 근거가 빠진 답안을 점검하기
고2 서술형을 준비할 때 답이 맞은 풀이에서 한 줄을 가려 보세요. 앞뒤 식만으로 그 단계가 왜 가능한지 설명되는지 확인하면 생략한 근거를 찾기 쉽습니다. 학교에서 제공한 답안 기준이 있다면 그 요구를 우선하여 필요한 설명을 보완해야 합니다.
한 과목의 표시 방법을 다른 과목에 옮길 때
기호나 표기가 비슷하더라도 과목과 문맥에 따라 가리키는 대상이 달라질 수 있습니다. 새 자료를 볼 때 기호의 정의를 먼저 확인해 보세요. 익숙한 표시라는 이유로 이전 과목에서의 의미를 그대로 적용하지 않았는지 점검하는 과정입니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.
수업 진행 예시
선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
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| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
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