모라동 고등수학과외
모라동 고등수학과외에서는 조합과 순열의 공식을 빠르게 대입하기보다, 선택하는 대상이 서로 구별되는지부터 확인하는 연습을 다룬다. 모라주공1단지와 부산모라주공3 인근 학생들은 학교 수업과 자습 시간을 오가며 조건이 많은 경우의 수 문제를 접한다. 햇살나무 작은도서관처럼 조용히 풀이를 정리할 수 있는 공간에서, 조건을 읽은 순서와 식을 세운 근거를 함께 점검하면 계산 전의 판단이 선명해진다.
시간을 줄였을 때 드러난 첫 판단
한 학생에게 10개의 조건이 붙은 선택 문제를 제한 시간의 80% 안에 풀게 했다. 문제는 여러 사람 가운데 일부를 고르는 상황이었지만, 학생들은 서로 다른 사람인지, 같은 종류의 물건인지, 선택 순서가 결과를 바꾸는지를 먼저 구분해야 했다. 학생은 문제를 읽자마자 여백에 10개 조건만 적고, 조건에 맞는 대상을 골라 경우를 세기 시작했다.
첫 오류는 조건을 하나씩 확인하지 않고 선택 대상의 구별 여부를 생략한 순간에 생겼다. 예를 들어 같은 색 공 3개와 다른 색 공 2개가 있을 때 ‘공 2개를 고른다’를 모두 서로 다른 대상으로 세면, 빨간 공과 파란 공을 고르는 경우와 파란 공과 빨간 공을 고르는 경우를 중복해서 세게 된다. 반대로 사람 3명 중 2명을 고르는 문제에서 순서를 무시해야 한다고 단정하면 실제 가능한 선택을 빠뜨린다. 학생의 답이 정반대로 나온 까닭도 이 구분을 조건표에 남기지 않았기 때문이다.
조합인지 순열인지 다시 세우는 과정
풀이를 멈추고 각 조건 옆에 ‘대상이 구별되는가’, ‘순서가 결과인가’를 짧게 표시하게 했다. ‘3개 중 3개 선택’은 모두 고르는 일이므로 순서에 따라 다른 결과가 생기지 않는다. 따라서 경우의 수는 3C3=1이다. 반면 7명 중 6명을 회장단처럼 순서가 있는 자리에 배치한다면 먼저 6명을 고른 뒤 자리를 정하므로 7P6으로 해석해야 한다. 단순히 숫자 7과 6만 보고 공식을 고르는 것이 아니라, 선택 뒤에 역할이나 위치가 붙는지를 확인해야 한다.
맞는 예와 반례를 나란히 적었다. ‘17명 중 6명을 대표단으로 고른다’는 대표단의 구성만 중요하므로 17C6이다. 그러나 ‘17명 중 6명을 1번부터 6번까지 세운다’면 같은 여섯 명이라도 줄의 위치가 달라져 17P6이 된다. 두 문제의 숫자는 같지만 선택 대상과 결과의 의미가 달라진다. 학생은 이후 단위를 확인하며, 사람을 고르는지 자리까지 정하는지를 문장으로 먼저 설명했다.
조건을 하나 덜어 낸 새 문제
교정 뒤에는 조건 10개 중 하나를 삭제한 문제를 새로 제시했다. 이번에는 8명 중 3명을 뽑되, 한 명은 반드시 포함하고 두 명은 같은 조에서 나와야 한다는 조건이었다. 학생은 먼저 반드시 포함되는 사람을 고정하고, 남은 자리의 대상이 구별되는지 적었다. 이어 같은 조의 두 사람을 고르는 경우와 다른 조에서 고르는 경우를 나누어 계산했다. 처음부터 공식 하나를 적지 않고 분류 기준을 세운 덕분에, 조건을 빠뜨리지 않은 식이 만들어졌다.
조건이 ‘대표단을 고른다’에서 ‘대표단의 회장을 정한다’로 바뀌면 마지막에 역할을 정하는 과정이 추가된다. 이처럼 조건 하나의 변화가 조합을 순열로 바꿀 수 있으므로, 새 문제에서는 이전 답을 옮겨 쓰지 않고 선택 결과가 무엇으로 구별되는지 다시 설명하게 했다.
나열표와 공식의 결과를 대조하기
마지막에는 작은 수로 직접 나열표를 만들었다. 4명 중 2명을 고르는 경우를 AB, AC, AD, BC, BD, CD로 적어 모두 6개임을 확인한 뒤 4C2=6과 비교했다. 같은 두 사람을 BA처럼 다시 적지 않는 이유도 표에서 확인할 수 있었다. 이어 4명 중 2명을 1번과 2번 자리에 세우면 AB와 BA가 각각 다른 결과가 되어 12개이고, 4P2=12와 일치했다.
검산은 공식을 다시 반복하는 데서 끝내지 않았다. 조합 결과에 2!을 곱하면 순열 결과가 되는지 확인하고, 선택한 사람의 순서를 바꾸었을 때 결과가 새로 생기는지 원래 조건에 대입했다. 조건을 잘못 해석해 조합으로 계산한 답은 이 대조에서 바로 드러났다.
자주 묻는 내용
- 조합과 순열은 무엇으로 구분하나요?
고른 대상의 순서나 역할이 결과를 바꾸면 순열, 구성만 같으면 조합으로 판단한다. - 사람을 고르면 항상 조합인가요?
아니다. 대표단을 구성하는지, 회장·부회장처럼 자리를 배정하는지에 따라 달라진다. - 같은 물건은 어떻게 세나요?
서로 구별되지 않는 물건이라면 색이나 종류별 개수로 묶어 중복 선택을 막아야 한다. - 공식이 맞는지 어떻게 확인하나요?
작은 수에서는 직접 나열하고, 선택 순서를 바꾼 경우가 같은 결과인지 원래 조건에 다시 대입한다. - 조건이 많을 때 먼저 할 일은 무엇인가요?
선택 대상, 순서의 영향, 반드시 포함되거나 제외되는 조건을 짧게 분리해 적는다.