모라동 고1수학과외







모라동 고1수학과외, 조합의 계산에서 정답 후보를 검산하는 방법
학생은 “남학생 2명과 여학생 3명 중 2명을 뽑을 때, 적어도 1명의 여학생이 포함되는 경우의 수”를 풀며 여학생을 먼저 고른 뒤 남은 사람을 선택하려 했다. 하지만 남학생 1명과 여학생 1명을 고르는 경우와 여학생 2명을 고르는 경우를 분명히 나누지 않아 일부 경우를 빠뜨렸다.
경우를 나눈 기준이 겹치지 않았는가
이 문제에서는 여학생의 선택 인원으로 경우를 나누면 중복과 누락을 줄일 수 있다.
- 여학생 1명, 남학생 1명: ₃C₁ × ₂C₁ = 6
- 여학생 2명: ₃C₂ = 3
따라서 전체 경우의 수는 6+3=9이다. 학생은 경우를 적은 직후 각 줄이 어떤 선택을 뜻하는지 짧게 표시하고, 두 경우가 같은 선택을 포함하지 않는지 확인했다. 핵심은 계산 공식을 먼저 고르는 것이 아니라, 나눈 경우의 기준을 고정하는 것이었다.
식이 아닌 표로 조건이 바뀐 경우
햇살나무 작은도서관 행사에서 5명 중 3명을 대표로 뽑되, 특정 학생 A는 반드시 포함하고 특정 학생 B는 제외해야 한다고 하자. A를 포함하고 B를 제외한 나머지 3명 중 2명을 고르면 되므로 경우의 수는 ₃C₂=3이다.
이번에는 ‘적어도 한 명 포함’이라는 표현 대신 포함·제외 조건이 표로 제시되었지만, 학생은 가능한 사람의 범위를 먼저 정한 뒤 선택 인원을 계산했다. 단순히 숫자만 바꾸지 않고 조건의 위치가 달라진 문제에서 조합의 대상을 다시 설정한 것이다.
조합 계산에서는 답의 크기보다 각 경우가 무엇을 의미하는지 먼저 확인한다.
새로운 방식으로 결과를 확인하기
마지막에는 여학생이 0명인 경우를 전체 선택 ₅C₂=10에서 제외하는 방식으로 다시 계산했다. 여학생이 0명인 경우는 남학생 2명을 고르는 ₂C₂=1가지이므로 10-1=9이다.
앞서 나눈 경우의 합과 여사건을 이용한 계산 결과가 모두 9로 일치하면서, 학생은 빠진 경우 없이 조합을 분류했는지 확인할 수 있었다.