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모라동 고1수학과외

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모라동 고1수학과외, 조합의 계산에서 정답 후보를 검산하는 방법

학생은 “남학생 2명과 여학생 3명 중 2명을 뽑을 때, 적어도 1명의 여학생이 포함되는 경우의 수”를 풀며 여학생을 먼저 고른 뒤 남은 사람을 선택하려 했다. 하지만 남학생 1명과 여학생 1명을 고르는 경우와 여학생 2명을 고르는 경우를 분명히 나누지 않아 일부 경우를 빠뜨렸다.

경우를 나눈 기준이 겹치지 않았는가

이 문제에서는 여학생의 선택 인원으로 경우를 나누면 중복과 누락을 줄일 수 있다.

  • 여학생 1명, 남학생 1명: ₃C₁ × ₂C₁ = 6
  • 여학생 2명: ₃C₂ = 3

따라서 전체 경우의 수는 6+3=9이다. 학생은 경우를 적은 직후 각 줄이 어떤 선택을 뜻하는지 짧게 표시하고, 두 경우가 같은 선택을 포함하지 않는지 확인했다. 핵심은 계산 공식을 먼저 고르는 것이 아니라, 나눈 경우의 기준을 고정하는 것이었다.

식이 아닌 표로 조건이 바뀐 경우

햇살나무 작은도서관 행사에서 5명 중 3명을 대표로 뽑되, 특정 학생 A는 반드시 포함하고 특정 학생 B는 제외해야 한다고 하자. A를 포함하고 B를 제외한 나머지 3명 중 2명을 고르면 되므로 경우의 수는 ₃C₂=3이다.

이번에는 ‘적어도 한 명 포함’이라는 표현 대신 포함·제외 조건이 표로 제시되었지만, 학생은 가능한 사람의 범위를 먼저 정한 뒤 선택 인원을 계산했다. 단순히 숫자만 바꾸지 않고 조건의 위치가 달라진 문제에서 조합의 대상을 다시 설정한 것이다.

조합 계산에서는 답의 크기보다 각 경우가 무엇을 의미하는지 먼저 확인한다.

새로운 방식으로 결과를 확인하기

마지막에는 여학생이 0명인 경우를 전체 선택 ₅C₂=10에서 제외하는 방식으로 다시 계산했다. 여학생이 0명인 경우는 남학생 2명을 고르는 ₂C₂=1가지이므로 10-1=9이다.

앞서 나눈 경우의 합과 여사건을 이용한 계산 결과가 모두 9로 일치하면서, 학생은 빠진 경우 없이 조합을 분류했는지 확인할 수 있었다.

모라동 고1수학과외 학부모 후기

시험 결과를 보여주고는 이제 끝났다고 생각했는지 문제를 정리하려고 하더라고요. 그런데 바로 덮지는 않고, 마지막 계산 결과를 처음 풀었던 방식과 다른 방법으로 한 번 더 맞춰 보게 됐어요. 다 확인한 뒤에야 손을 뗐습니다. 예전에는 어디에서 막혔는지 본인도 잘 못 찾고 그냥 넘어가는 일이 있었거든요. 이번 장면은 그때와 달리 결과를 다시 확인하는 과정이 눈에 보이더라고요. 모라동 수학과외 이야기를 나누면서도 이런 부분을 집에서 유심히 보게 됐습니다. 새 수행평가 대본을 받았을 때도 처음 계산한 결과를 그대로 넘기지 않고 다른 방식으로 다시 점검했어요. 그리고 다음 공부에서 이어서 볼 수 있도록 해당 위치에 표시를 해두더라고요.

★★★★★학부모 후기

시험 결과를 보여주던 날, 아이가 문제집을 펼쳐 놓고 어려웠던 문제 옆을 한참 살펴보더라고요. 별표 하나만 해둘 줄 알았는데 계산 과정 중 다시 확인할 줄의 번호를 적어 둔 걸 보고 의외로 눈에 띄었어요. 예전에는 어디에서 막혔는지 정하지 못한 채 문제 전체에 표시하는 경우가 많았거든요. 모라동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이 장면이 생각났습니다. 틀린 문제를 다시 볼 때 막연히 어려웠다고 남기는 대신, 계산이 이어지는 부분을 찾아 범위를 좁혀 둔 모습이었어요. 새 수행평가 대본을 받아 왔을 때도 비슷한 표시가 보이더라고요. 내용을 훑고 지나간 게 아니라 다시 확인할 계산 줄 번호를 적어 두고, 다음 공부에서 바로 펼칠 위치를 남겨 두었더라고요. 마지막에는 문제 옆 별표보다 작은 숫자 표시가 먼저 눈에 띄었습니다.

★★★★☆학부모 후기

모라동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 수업 일정에 맞춰 공부하는 모습이 조금씩 보였습니다. 시험 전에는 오답 공책을 펼쳐 놓고 부담스러워했지만, 선생님이 학교 과제와 시험 일정을 살펴 그 주의 수업량을 조절하고 할 일을 나눠 주셨습니다. 맞힌 문제도 다시 설명해 보게 하니 막히는 문제를 예전처럼 바로 피하지 않게 되었습니다.

★★★★☆학부모 후기

첫 과외 날 아이가 긴장해서 준비한 질문도 꺼내지 못했는데, 선생님께서는 모라동 수업 분위기를 편하게 이끌며 어디까지 이해했는지부터 차분히 물어보셨습니다. 바로 답을 알려주지 않고 다시 생각할 시간을 주셔서인지, 몇 번 지나자 모르는 문제를 그대로 지나치지 않고 먼저 물어보는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★☆학부모 후기

시험 다음 날 아이와 선생님이 편하게 이야기를 나누는 모습을 보니 모라동 수학과외를 시작하길 잘했다는 생각이 들었습니다. 예전에는 저녁을 먹고 숙제를 펼쳐도 계산이 조금만 복잡하면 금세 조급해했는데, 선생님은 막히는 부분에서 진도를 재촉하지 않고 다시 설명한 뒤 스스로 풀어볼 시간을 주셨습니다. 요즘은 틀린 문제도 예전처럼 피하지 않고 한 번 더 살펴보려 합니다.

★★★★★학부모 후기