삼산동 중등수학과외

삼산동중등수학과외, 산점도 마지막 점이 바뀔 때 전체 경향을 확인하는 법

산점도에서는 점 몇 개가 위로 향한다고 해서 자료 전체가 계속 증가한다고 판단할 수는 없습니다. 예를 들어 자료쌍 (1,16), (2,17), (3,18), (4,19)를 좌표평면에 나타내면 x가 1씩 커질 때 y도 1씩 커집니다. 네 점이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 일정하게 놓이므로 이 자료에는 양의 상관관계가 있다고 설명할 수 있습니다. 다만 두 값이 함께 변한다는 관찰만으로 어느 한쪽이 다른 쪽의 원인이라고 결론 내릴 수는 없습니다. 삼산동중등수학과외에서는 기본 문제의 결론을 외우는 데서 멈추지 않고, 마지막 자료가 달라졌을 때 어떤 판단을 다시 해야 하는지 살핍니다.

네 점 전체가 보여 주는 양의 상관관계

기본 자료에서는 (1,16)에서 (2,17), (3,18), (4,19)로 갈수록 x와 y가 함께 증가합니다. 산점도 위에 네 점을 모두 찍고, 점들의 가운데를 지나도록 오른쪽 위 방향의 경향선을 생각해 보면 양의 상관관계라는 판단의 근거가 분명해집니다. 여기서 중요한 것은 ‘두 변수가 함께 증가한다’는 말과 ‘x가 y를 증가시켰다’는 말을 구별하는 일입니다. 자료에는 실험 조건, 시간의 흐름, 다른 요인에 관한 정보가 없으므로 인과관계는 알 수 없습니다. “함께 변하는 자료만으로 원인을 확정할 수 있을까?”라는 질문에, 주어진 네 좌표는 상관관계만 보여 준다고 식별할 수 있어야 합니다.

마지막 좌표 (4,15)가 바꾸는 판단

비교 자료에서는 처음 세 점 (1,16), (2,17), (3,18)은 유지되지만 마지막 점이 (4,19)에서 (4,15)로 바뀝니다. x가 3에서 4로 증가했는데 y는 18에서 15로 감소하므로, y값이 16, 17, 18, 15로 이어집니다. 따라서 모든 점을 순서대로 볼 때 단조 증가는 깨집니다. 처음 세 점만 보고 “계속 증가한다”고 말하면 바뀐 마지막 조건을 반영하지 못한 판단입니다. 풀이에는 (4,15)를 다른 색으로 표시한 뒤, 18→15라는 변화와 x의 증가를 나란히 적어 보게 합니다. 점들의 전반적 배치가 완전히 흩어진 것은 아니더라도, 이 자료를 완전한 증가 관계라고 단정할 수 없는 이유는 마지막 점이 예외가 아니라 실제로 포함된 자료이기 때문입니다.

새 조건을 읽고 스스로 설명하는 확인

확인할 때는 기본 문제와 비교 문제를 나란히 두고 “달라진 것은 마지막 y값 19와 15, 유지된 것은 앞의 세 자료쌍”이라고 먼저 표시합니다. 그다음 비교 자료에서 경향을 설명할 때 전체 네 점을 확인했는지, 일부 점만 근거로 삼지 않았는지를 봅니다. 막힌 경우에는 답을 바로 알려 주기보다 “마지막 점까지 포함하면 계속 증가하나요?”처럼 바뀐 좌표를 다시 보게 하는 질문이 적절합니다. 이후에는 도움 없이 (4,15)를 포함한 산점도를 그리고, 단조 증가가 깨졌다는 근거를 18과 15의 변화로 말하며, 상관관계와 인과관계를 구분하는지 확인합니다. 이 두 질문에 좌표와 자료 전체를 근거로 답하고 비교 문제의 첫 판단을 스스로 선택할 때, 다음 조건 변형으로 범위를 넓혀 볼 수 있습니다.

단조 증가는 x가 커질 때 y가 한 번도 작아지지 않는지 보는 기준이고, 양의 상관관계는 점들의 전체적인 경향을 보는 기준입니다. 일부 구간에서 y가 감소했다는 사실만으로 양의 상관관계가 없다고 결론 내리지는 않습니다.