삼산동 중3수학과외

삼산동 중3수학과외에서 확인한 기준각의 선택

삼산동과외 수업에서 학생이 푼 문제는 직각삼각형의 세 삼각비를 연결하는 내용이었다. 삼산중학교, 진산중학교, 부일중학교가 포함된 생활권에서 중3수학 문제를 살펴보다가, 대우푸르지오아파트와 두산위브아파트가 있는 생활권에서도 자주 접할 수 있는 기본 도형을 가져왔다.

직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°이고, AB=10cm, BC=6cm, AC=8cm이다. ∠A에 대한 sin, cos, tan의 값을 각각 구하여라.

답안에서 가장 먼저 멈춘 곳

학생은 오답노트를 복기하며 다음처럼 적었다.

sin A=6/10, cos A=8/10, tan A=6/8

계산 자체는 빠르고, 세 식도 모두 한 번에 작성했다. 그런데 유형 이름이나 예제의 순서를 보지 않고 바로 변을 고르라고 하자, 그림에서 왼쪽 아래에 있는 변부터 읽어 숫자를 배치했다. 학생의 말은 “6은 아래에 있으니까 sin, 8은 옆에 있으니까 cos”였다.

이때 최종 계산이 틀린 것이 가장 먼저 생긴 문제는 아니었다. ∠A를 기준으로 변의 역할을 확인하기 전에 삼각비와 변을 선택한 판단이 먼저 어긋났다. ∠A에서 마주 보는 변은 BC=6, 이웃한 직각변은 AC=8, 빗변은 직각의 맞은편인 AB=10이다. 따라서 학생의 답은 결과적으로 맞지만, 숫자의 위치가 바뀌면 같은 방식으로 고르기 어렵다.

기준각을 먼저 표시한 한 가지 교정

풀이를 전부 다시 쓰게 하지 않고, 첫 행동 하나만 바꾸었다. 문제를 읽은 뒤 삼각형의 변에 바로 표시하지 않고 먼저 ∠A에 작은 표시를 한 다음, 그 각을 기준으로 세 변의 역할을 말하게 했다.

직각의 맞은편 AB=10: 빗변
∠A의 맞은편 BC=6: 맞은편 변
∠A에 붙어 있고 빗변이 아닌 AC=8: 이웃한 변

그 뒤에야 세 삼각비를 연결했다.

sin A=맞은편 변/빗변=6/10=3/5

cos A=이웃한 변/빗변=8/10=4/5

tan A=맞은편 변/이웃한 변=6/8=3/4

여기서 중요한 것은 6, 8, 10을 외운 순서로 넣지 않고, 기준각에서 각 변의 역할을 정한 뒤 식을 세운 점이다. 이미 맞았던 약분 계산은 그대로 유지했다. 삼산동중3수학과외에서 이 장면을 기록할 때도 여러 암기법을 추가하지 않고, “기준각 표시 후 변의 역할 확인”이라는 한 가지 기준만 남겼다.

그림의 방향을 바꾸어 다시 연결하기

며칠 뒤에는 같은 모양을 숫자만 바꾼 문제 대신 표현을 바꾸어 제시했다. 직각삼각형 PQR에서 ∠Q=90°이고, 그림에는 ∠R이 색칠되어 있었다. QR=5cm, PQ=12cm, PR=13cm이며, 이번에는 “∠R에 대한 세 삼각비를 구하고, PQ의 길이를 sin R을 이용해 설명하라”고 물었다.

학생은 먼저 색칠된 ∠R을 표시했다. ∠R에서 PR은 빗변, PQ는 맞은편 변, QR은 이웃한 변이라고 정리했다.

sin R=PQ/PR=12/13, cos R=QR/PR=5/13, tan R=PQ/QR=12/5로 나타냈다. 이어 “PQ는 ∠R의 맞은편 변이므로 sin R에 빗변 PR을 곱하면 된다”고 설명하여 PQ=13×sin R=13×12/13=12를 확인했다. 숫자와 질문 방향이 달라졌지만, 기준각에서 역할을 정하는 기준은 그대로 작동했다.

도움 없이 다시 세운 기준

한 주 뒤에는 그림에 변의 이름만 표시된 새 문제를 주고 아무 힌트도 덧붙이지 않았다.

직각삼각형 XYZ에서 ∠Y=90°, XZ=17cm, YZ=8cm, ∠X에 대한 세 삼각비를 구하여라. 또 sin X의 분모가 왜 XZ인지 설명하여라.

학생은 먼저 ∠X에 동그라미를 치고, “직각의 맞은편 XZ가 빗변, ∠X의 맞은편 YZ가 맞은편 변, XY가 이웃한 변”이라고 적었다. 이어 XY의 길이를 15cm로 확인한 뒤,

sin X=8/17, cos X=15/17, tan X=8/15

라고 썼다. 마지막에는 “sin은 맞은편 변과 빗변을 비교하므로 분모는 직각의 맞은편인 XZ=17이다. 따라서 sin X×XZ=8/17×17=8로 YZ와 일치한다”고 검산했다.

새 그림에서도 학생은 예제의 배치나 숫자 순서가 아니라 기준각을 먼저 선택했다. 세 삼각비를 각각 따로 외운 것이 아니라, 하나의 직각삼각형 안에서 기준각에 따른 세 변의 역할을 연결해 스스로 재현한 장면이었다.

삼산동 중3수학과외 학부모 후기

시험 결과를 보여주던 날, 아이가 문제집을 펼쳐 놓고 어려웠던 문제 옆을 한참 살펴보더라고요. 별표 하나만 해둘 줄 알았는데 계산 과정 중 다시 확인할 줄의 번호를 적어 둔 걸 보고 의외로 눈에 띄었어요. 예전에는 어디에서 막혔는지 정하지 못한 채 문제 전체에 표시하는 경우가 많았거든요. 삼산동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이 장면이 생각났습니다. 틀린 문제를 다시 볼 때 막연히 어려웠다고 남기는 대신, 계산이 이어지는 부분을 찾아 범위를 좁혀 둔 모습이었어요. 새 수행평가 대본을 받아 왔을 때도 비슷한 표시가 보이더라고요. 내용을 훑고 지나간 게 아니라 다시 확인할 계산 줄 번호를 적어 두고, 다음 공부에서 바로 펼칠 위치를 남겨 두었더라고요. 마지막에는 문제 옆 별표보다 작은 숫자 표시가 먼저 눈에 띄었습니다.

★★★★☆학부모 후기

문제집을 펼쳐 보니 여백 여기저기에 낙서처럼 표시한 게 아니라, 계산이 틀어지기 시작한 지점만 조그맣게 남겨 두었더라고요. 모의고사 성적표를 받아온 날 잠깐 방을 들여다보다가 발견했는데, 답을 틀렸다는 표시와는 조금 달라서 눈에 띄었어요. 삼산동 수학과외를 알아보던 때와는 별개로 아이가 문제를 보는 방식이 달라진 게 느껴졌습니다. 예전에는 공부가 끝나면 지나간 부분을 다시 꺼내 확인하는 일이 거의 없었거든요. 어디서부터 계산이 어긋났는지 따로 짚어 둔 흔적을 보니 그냥 답만 맞춰 본 건 아니었어요. 시험 전 복습하던 날에도 같은 식으로 계산 실수가 시작된 곳만 골라 표시해 두었어요. 다시 봐야 할 부분이 다른 메모와 섞이지 않게 남겨 둔 모양이었고, 문제집을 펼쳤을 때 표시가 먼저 보였습니다.

★★★★☆학부모 후기

처음에는 낯을 많이 가려 정해 둔 공부량 없이 책상에 앉아 있곤 했는데, 삼산동에서 수업을 시작한 뒤 두 번째 수업을 기다리며 지난 내용을 스스로 다시 펼쳐 보더군요. 선생님께서는 아이가 모른다고 말해도 괜찮다며 질문을 천천히 이어 가고, 설명 속도보다 이해했는지를 먼저 살펴 주셨습니다. 시험기간에도 무리하게 재촉하기보다 복습할 부분을 함께 정리해 주셔서 질문할 때 눈치 보던 모습이 조금씩 편안해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

삼산동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 틀린 문제를 다시 보는 것을 무척 싫어했고, 풀이가 길어지면 금세 포기하곤 했습니다. 선생님은 시험이 끝난 주말에도 생활 계획을 무리하게 바꾸지 않고, 맞힌 문제도 우연히 맞은 것은 아닌지 짧게 설명해 보게 하며 천천히 복습을 이끌어 주셨습니다. 요즘은 수업 내용을 집에서 먼저 이야기하고, 틀린 이유를 답보다 앞서 생각하려는 모습이 보여 성적보다 더 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기

삼산동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 수업 중 조용히 듣고는 이해했다고 넘기는 편이었습니다. 난도가 높아진 단원에서 틀린 문제를 다시 볼 때 선생님은 스스로 풀 수 있는 부분은 기다려 주고, 막히는 순간에만 힌트를 주셨습니다. 시험기간에는 대답하는 목소리도 한결 편안해졌고, 결과보다 틀린 문제를 피하지 않는 태도가 자리 잡은 점이 가장 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기