진구 중등수학과외

진구중등수학과외, 직육면체 높이가 바뀔 때 겉넓이와 부피를 식으로 확인하기

가로 5, 세로 3, 높이 4인 직육면체의 겉넓이와 부피를 구하는 문제에서 중요한 것은 ‘높이 4’가 모든 면과 계산에 똑같이 작용하는지 구분하는 일입니다. 겉넓이는 여섯 면의 넓이를 더한 값이고, 부피는 밑면 넓이에 높이를 곱한 공간의 양입니다. 따라서 높이가 두 배가 되면 부피는 두 배가 되지만, 겉넓이가 언제나 두 배가 되는 것은 아닙니다. 진구중등수학과외에서는 이 차이를 공식 암기보다 면의 구성과 단위로 확인하도록 지도할 수 있습니다.

밑면 두 개와 옆면 네 개를 나누어 보는 이유

기본 문제의 밑면은 5×3이므로 한 면의 넓이는 15제곱단위입니다. 위와 아래의 밑면 두 개는 높이가 4이든 8이든 크기가 변하지 않아 15×2=30제곱단위입니다. 옆면은 5×4인 면이 두 개, 3×4인 면이 두 개입니다. 따라서 옆면 넓이는 5×4×2=40, 3×4×2=24가 되어 겉넓이는 30+40+24=94제곱단위입니다. 부피는 밑면 넓이 5×3=15에 높이 4를 곱하므로 15×4=60세제곱단위입니다. 면 번호를 적은 전개도에서 위·아래 면과 옆면을 다른 표시로 나누면, 높이가 들어가지 않는 면이 무엇인지 눈으로 확인할 수 있습니다.

‘높이가 두 배면 겉넓이도 두 배’ 판단을 고치는 방법

높이를 8로 바꾼 비교 문제에서는 밑면 두 개가 여전히 5×3이므로 합이 30제곱단위로 그대로입니다. 반면 옆면은 5×8인 면 두 개와 3×8인 면 두 개가 되어 5×8×2=80, 3×8×2=48입니다. 그러므로 겉넓이는 30+80+48=158제곱단위입니다. 94의 두 배인 188이 아닌 이유는 높이가 바뀌지 않은 밑면 30이 포함되어 있기 때문입니다. ‘높이를 바꿔도 넓이가 그대로인 면은 어디인가요?’라는 질문에 위·아래의 5×3 면을 표시하며 답하는지 확인하면, 단순히 정답을 고친 것인지 면의 관계를 이해한 것인지 구분할 수 있습니다. 처음에 94×2=188처럼 적었다면 그 줄을 지우기보다, 어느 항이 높이와 무관한지 옆에 적고 30+80+48로 수정하는 이유를 연결합니다.

부피의 변화와 도움 없는 재확인

같은 비교 문제에서 부피는 밑면 넓이 5×3=15에 높이 8을 곱해 15×8=120세제곱단위입니다. 높이는 부피 식에서 밑면 넓이 전체에 곱해지는 항이므로 60에서 120으로 정확히 두 배가 됩니다. 제곱단위는 면을 덮는 넓이, 세제곱단위는 상자 안을 채우는 공간의 양이라는 차원표를 함께 보면 두 값이 같은 방식으로 변하지 않는 이유가 분명해집니다. 이후에는 전개도 표시나 질문 없이 높이 8의 겉넓이 158제곱단위와 부피 120세제곱단위를 스스로 구하게 합니다. 이때 위·아래 면이 30으로 유지된다는 근거와 ‘부피에서는 높이가 밑면 넓이 15에 곱해진다’는 식을 함께 썼는지 확인합니다. 한 번의 답만으로 원인을 단정하기보다, 표시한 면·세운 식·대입한 수를 살펴보며 다음 설명과 계산 연습의 범위를 정하는 것이 좋습니다.