진구 중3수학과외

진구 중3수학과외에서 확인한 전개식의 첫 오류

진구과외 수업에서 다항식의 곱셈을 점검하던 중, 학생이 다음 문제의 풀이를 가져왔습니다.

(x+5)(x-2)를 전개하여 정리하시오.

풀이에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.

(x+5)(x-2)=x²-2x+5x-2=x²+3x-2

겉으로는 네 항을 모두 쓴 것처럼 보였지만, 마지막 상수항이 이상했습니다. 학생은 앞의 세 항을 곱하는 과정은 맞게 적었으나, 5와 -2를 곱한 결과를 -2로 그대로 옮겼습니다. 이때 중요한 것은 최종 답을 보고 계산 실수를 고치는 것이 아니라, 결과가 달라지기 시작한 최초의 지점을 찾는 일이었습니다.

식의 뒤에서부터 거꾸로 찾은 어긋남

오답노트를 함께 펼쳐 완성된 식을 처음부터 다시 풀지 않고, 각 항이 어디에서 왔는지 표시했습니다.

• x·x는 x²
• x·(-2)는 -2x
• 5·x는 5x
• 5·(-2)는 -10

학생은 세 번째 항까지는 올바르게 계산했지만, 네 번째 곱을 확인하지 않고 원래 식의 숫자 -2를 내려 적었습니다. 따라서 최초 오류는 동류항을 정리한 뒤가 아니라, 상수끼리 곱해야 할 순간에 항 하나의 곱을 확인하지 않은 것이었습니다. 이미 맞게 계산한 -2x와 5x를 다시 고칠 이유는 없었습니다.

한 줄만 바꾸어 전개 순서 세우기

교정은 풀이 전체를 새로 외우는 방식이 아니었습니다. 괄호 안의 네 항이 빠짐없이 서로 곱해졌는지 보이도록 항별 곱만 한 줄씩 적게 했습니다.

(x+5)(x-2)

=x·x+x·(-2)+5·x+5·(-2)

=x²-2x+5x-10

=x²+3x-10

이제 학생은 마지막 숫자를 기억해서 쓰지 않고, 두 번째 괄호의 각 항이 첫 번째 괄호의 두 항과 모두 곱해졌는지 확인했습니다. -2x와 5x를 3x로 정리하는 과정은 원래 풀이와 같으므로 그대로 유지했습니다. 바뀐 것은 상수항을 실제 곱으로 표시한 한 행동뿐입니다.

진구중3수학과외에서 이 장면을 설명할 때도 가야벽산아파트가 있는 생활권이나 부산광역시립부전도서관 인근 생활권처럼 익숙한 배경을 예로 들 수 있지만, 풀이의 핵심은 생활권이 아니라 괄호 속 항의 곱을 빠뜨리지 않는 데 있습니다. 경일중학교가 포함된 생활권에서 문제를 접하더라도 같은 기준으로 식을 확인할 수 있습니다.

모양을 바꾼 새 식에 적용하기

다음 문제는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 부호와 계수의 모양을 달리했습니다.

(2x-3)(x+4)를 전개하시오.

학생은 먼저 각 항의 곱을 네 줄로 나누어 적었습니다.

2x·x=2x²

2x·4=8x

-3·x=-3x

-3·4=-12

따라서

(2x-3)(x+4)=2x²+8x-3x-12=2x²+5x-12

이번에는 첫 번째 괄호의 -3이 두 번째 괄호의 두 항과 각각 곱해져야 한다는 점을 놓치지 않았습니다. 특히 -3·4를 원래 식의 4로 옮기지 않고 -12로 계산한 뒤, 같은 문자 항인 8x와 -3x만 정리했습니다. 새로운 개념을 덧붙이지 않고, 전개 과정에서 각 항의 곱과 일차항 계수를 확인하는 기준만 적용한 것입니다.

힌트 없이 식의 앞뒤를 대조한 마지막 기록

며칠 뒤에는 풀이 중간을 가린 채 다음 문제를 제시했습니다.

(x-6)(3x+2)를 전개한 결과가 x에 1을 대입했을 때 -20인지 확인하시오.

학생은 먼저 전개했습니다.

(x-6)(3x+2)=3x²+2x-18x-12=3x²-16x-12

그다음 전개한 식에 x=1을 대입했습니다.

3(1)²-16(1)-12=3-16-12=-25

이번에는 원래 곱셈식에도 같은 값을 대입했습니다.

(1-6)(3·1+2)=(-5)·5=-25

두 결과가 모두 -25이므로 전개한 식과 원래 곱셈식이 일치한다고 설명했습니다. 문제에 제시된 -20은 맞는지 확인하는 대상일 뿐, 그 값을 만들기 위해 식을 억지로 바꾸지 않았습니다. 학생은 새로운 식에서도 각 항의 곱을 먼저 적고, 마지막에는 같은 수를 대입해 전개 전후를 비교했습니다. 이처럼 다항식의 곱셈에서 일차항 계수를 확인하는 기준을 스스로 선택하고 이유와 검산 근거까지 말할 수 있었습니다.