진구 고등수학과외

진구고등수학과외에서는 역함수 공식을 외우기 전에 함수가 일대일 대응을 이루는지 확인하는 과정을 풀이 기록에 남긴다. 부산외국어고등학교와 부산국제고등학교를 오가는 학생들도 서면센트럴스타나 부산광역시립부전도서관 근처에서 공부한 문제를 가져오지만, 지역보다 중요한 것은 식을 읽는 순서와 오류가 생긴 지점을 정확히 되짚는 일이다. 이번 수업에서는 y=17/(x-13)을 통해 일대일 대응 조건과 역함수의 관계를 살폈다.

분모를 잘못 읽은 순간

학생은 먼저 “분모가 0이면 안 되므로 x≠0”이라고 적었다. 풀이 줄에는 마치 식이 17/x-13인 것처럼 정리되어 있었다. 실제 식의 분모는 x-13 전체이므로, 금지되는 값은 x=13이다. 이 차이를 놓치면 정의역부터 달라지고, 그래프의 중심 위치와 역함수의 정의역도 모두 잘못 정해진다.

첫 오답은 계산 중간이 아니라 분수의 괄호를 확인하지 않은 첫 줄에서 시작됐다.

학생은 풀이를 멈춘 시점에 동그라미를 치고, 그 줄의 식을 다시 읽었다. 17/(x-13)에서 x가 13에 가까워질 때 함수값의 크기가 커지고, x가 매우 커지면 함수값은 0에 가까워진다. 따라서 정의역은 x=13을 제외한 모든 실수이고 치역은 y=0을 제외한 모든 실수다.

일대일 대응을 식으로 확인하기

두 입력값 a, b가 같은 함수값을 만든다고 놓으면

17/(a-13)=17/(b-13)

이다. 분자 17은 0이 아니므로 양변의 분모를 비교할 수 있고, a-13=b-13에서 a=b가 나온다. 서로 다른 두 입력이 같은 출력으로 모이지 않으므로 이 함수는 정의역에서 일대일이다.

그다음 역함수는 y=17/(x-13)에서 출발해 구한다. 양변에 x-13을 곱하면 y(x-13)=17이고, x=13+17/y가 된다. 입력과 출력을 바꾸면

f^-1(x)=13+17/x

이며 역함수의 정의역은 x≠0이다. 학생은 앞서 잘못 적은 x≠0을 원함수의 조건으로 사용했지만, 그것은 역함수에서 나타나는 제한임을 구분해 기록했다.

크기를 바꾼 식에 혼자 적용하기

교사는 숫자만 살짝 바꾼 문제가 아니라 위치와 규모가 모두 달라진 y=240/(x-80)을 제시했다. 학생은 먼저 x=80을 제외해야 한다고 적고, 두 함수값을 같게 놓아 240/(a-80)=240/(b-80)에서 a=b를 얻었다. 이어 역함수를 구해 f^-1(x)=80+240/x, x≠0이라고 정리했다.

이번에는 교사의 식 변형을 기다리지 않고, 왜 분자가 240처럼 커져도 일대일 성질이 바뀌지 않는지 설명했다. 분자가 0이 아닌 상수인 한 같은 출력이 생기지 않으며, 80은 그래프가 이동한 위치를 정할 뿐 일대일 여부를 없애지 않는다.

수평선으로 마지막 확인

계산이 맞았다는 느낌만으로 끝내지 않고 원함수의 그래프를 그렸다. 그래프는 x=13을 기준으로 두 갈래로 나뉘며, y=0에 가까워질 뿐 그 선과 만나지 않는다. y=1, y=17, y=-2처럼 서로 다른 수평선을 그어도 각 선은 그래프와 한 점에서만 만난다. 수평선 하나가 두 점 이상에서 그래프를 자른다면 일대일이 아니지만, 이 식에서는 그런 선을 찾을 수 없다.

마지막으로 원식에 역함수를 대입했다. 13+17/x를 원함수의 x 자리에 넣으면 17/((13+17/x)-13)=17/(17/x)=x가 된다. 단 x≠0이라는 조건이 필요하다. 반대로 역함수에 원함수를 넣어도 y가 돌아오므로, 정의역 제한까지 포함해 역함수 관계가 성립하는지 확인했다.

자주 묻는 질문

왜 x=13을 제외하나요?

분모 x-13이 0이 되면 함수값을 정할 수 없기 때문이다.

분자가 17이 아니어도 일대일인가요?

분자가 0이 아닌 상수라면 같은 방식으로 일대일임을 확인할 수 있다.

역함수의 x≠0은 어디에서 생기나요?

원함수의 치역이 0을 포함하지 않으므로, 역함수의 입력에서 0을 제외한다.

그래프에서 무엇을 보면 되나요?

어떤 수평선도 그래프와 두 번 만나지 않는지 확인하면 된다.

식에 괄호가 없으면 어떻게 하나요?

분수선이 어디까지 덮는지 먼저 확인하고, 분모 전체를 괄호로 묶어 다시 적는다.