진구 고3수학과외

가린 한 줄에서 드러난 코사인법칙의 첫 판단

부산외국어고등학교와 부산국제고등학교가 있는 진구의 생활권에서 기출 풀이를 점검하던 중, 학생의 오답은 계산 과정이 아니라 코사인법칙을 선택하는 첫 순간에서 시작되었다. 해설과 중간식 한 줄을 가린 뒤 풀이를 다시 복원하게 하자 학생은 먼저 그림에 표시된 각의 범위를 읽었다. 그러나 두 변과 그 사이각을 확인한 직후, 구하려는 변의 맞은편 각이 무엇인지 연결하지 않은 채 식을 골랐다.

문제는 두 변의 길이가 5, 7이고 그 사이각이 θ인 삼각형에서 나머지 변의 길이 x를 다루는 형태였다. 이때 정확한 관계는

x² = 5² + 7² − 2·5·7 cos θ = 74 − 70 cos θ

이다. 학생은 뒤의 제곱근 계산은 맞게 했지만, 5와 7 사이의 각을 구하려는 변의 맞은편 각으로 읽지 않고, 구하는 변에 붙은 각처럼 처리했다. 그 결과 코사인법칙의 구조가 아니라 다른 세부 유형의 기억을 끌어와 전체 식을 잘못 세웠다. 최초 오류는 수치 대입이 아니라 ‘어떤 각의 코사인이 어떤 변과 대응하는가’를 결정한 줄이었다.

정답에서 거꾸로 올라간 오류 표시

정답이 x²=39로 제시된 상태에서 학생에게 계산을 다시 시키지 않고, 어느 줄부터 정답과 갈라졌는지 표시하게 했다. cos 60°=1/2을 대입한 뒤의 계산은 일치했으므로 그 줄은 지우지 않았다. 대신 식을 세우기 직전 그림에서 5와 7이 이루는 각, 그리고 그 각의 맞은편 변 x를 한 번 더 연결해 보게 했다.

교정은 한 가지 표시에만 제한했다. 코사인법칙을 쓰기 전, 학생은 ‘두 변-그 사이각-맞은편 변’을 한 줄에 적었다. 이어 식의 마지막 항에 들어가는 각을 그림에서 직접 동그라미 쳤다. 이 과정을 거치면 x가 5와 7 사이각의 맞은편 변이라는 사실이 먼저 고정되고, 그 뒤에야 74−70cosθ를 쓸 수 있다. 각의 범위와 함수관계도 분리했다. 0<θ<π는 가능한 각을 정하는 조건이고, cosθ는 그 각에 따라 변의 길이가 어떻게 달라지는지를 정하는 관계이므로 같은 정보로 취급하지 않았다.

각의 위치를 숨긴 변형 문제

다음에는 그림 대신 “길이 5와 7인 두 선분이 한 점에서 만나고, 그 사이각이 120°일 때 끝점을 이은 선분을 구하라”는 문장으로 바꾸었다. 이번에는 그림에서 대응을 외워 풀 수 없도록 자료 제시 순서를 뒤집었다. 학생은 먼저 두 선분이 이루는 각이 포함각임을 문장에 표시한 뒤

x²=25+49−70cos120°=74+35=109

를 세웠다. 여기서 cos120°=−1/2이므로 제곱근은 √109이다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 예각에서 둔각으로 각의 위치와 부호가 달라지는 문제였지만, 학생은 먼저 대응 관계를 확정한 뒤 계산했다.

또 다른 오답 풀이를 제시하고 “어느 줄을 고쳐야 하는가”를 묻자, 학생은 마지막 근삿값이 아니라 코사인 항에 잘못된 각을 넣은 줄을 골랐다. 사용하지 않은 조건은 따로 표시하게 했는데, 이 문제에서는 각의 범위가 이미 120°로 주어졌으므로 별도의 정수 후보나 매개변수 경계를 만들 필요가 없다고 설명했다. 코사인법칙의 대응을 다른 유형의 조건 처리와 섞지 않은 것이다.

힌트 없이 남은 판단

다음 날에는 두 변의 길이를 8과 11로 바꾸고, 이번에는 두 변과 그 사이각이 아니라 세 변의 길이 8, 11, 13이 주어진 삼각형에서 8과 11 사이의 각을 구하게 했다. 학생은 구하려는 각을 C로 두고, 그 맞은편 변이 13임을 먼저 확인했다.

13²=8²+11²−2·8·11 cos C

따라서 cos C=(64+121−169)/(176)=16/176=1/11이므로 C=cos⁻¹(1/11)이라고 정리했다. 정답을 맞히는 데서 멈추지 않고, 13이 가장 긴 변이므로 그 맞은편 각이 둔각이 아니라는 점과 cos C>0이 일치하는지도 대조했다.

진구과외에서 이 장면을 최종 점검할 때 본 기준은 계산 속도가 아니었다. 학생이 새로운 수치와 문장 표현 앞에서도 먼저 대응하는 각과 변을 찾고, 그 근거를 식 옆에 남기는지였다. 풀이를 마친 뒤에는 사용한 조건만 다시 동그라미 쳤고, 잘못된 선택이 포함된 풀이에는 오류가 발생한 첫 줄과 그 이유를 지우지 않고 기록했다. 코사인법칙을 기억한 것이 아니라, 함수관계가 시작되는 위치를 스스로 역추적하는 판단이 유지되었다.